Matematické Fórum

slender

Zdravím,
snažím se vyřešit tuto úlohu:

V osudí je umístěno 12 bílých a 8 černých míčů. Jaká je střední doba čekání na vytažení černého míče, pokud míče po vytažení do osudí nevracíme?

Zatím dokážu dát dohromady jen přímočaré řešení, kdy si jako náhodnou veličinu $X$ označím počet vytažených bílých míčů před vytažením prvního černého.

Pak tedy dokážu vyjádřit rozdělení:

$P[X=x]=\frac{\frac{12!}{(12-x)!}}{\frac{20!}{(20-x)!}}\cdot\frac{8}{20-x}=\frac{12!\cdot(20-x)!\cdot8}{(12-x)!\cdot20!\cdot(20-x)}$

Ze kterého mohu vypočítat střední hodnotu:
$EX=\sum_{i=0}^{12}x\cdot\frac{12!\cdot(20-x)!\cdot8}{(12-x)!\cdot20!\cdot(20-x)}$

Připadá mi, že je to poměrně náročný způsob a musí existovat efektivnější řešení. Poradil by mi někdo, prosím?

Kdybychom míče vraceli, šlo by o geometrické rozdělení pravděpodobnosti (jehož rozdělení vypočítám snadno). Možná by to šlo řešit pomocí hypergeometrického rozdělení, které jsme se však neučili (takže je očekáváno, že to dokážu vypočítat bez znalosti vzorečku).

Stýv · 12. 02. 2017 15:43

doporučil bych rekurzi. vytánheš jeden míček a s pstí 8/20 máš hotovo, s pstí 12/20 ti zbývá 11 bílých a 8 černých. tedy pokud označíme řešení úlohy jako E(12,8) (význam je snad zřejmý), pak platí E(12,8)=1+12/8*E(11,8)...

slender · 12. 02. 2017 17:43

↑ Stýv: Jo, díky, to dává smysl.

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2017 14:26 — Editoval slender (12. 02. 2017 14:30)

Výpočet střední hodnoty

#2 12. 02. 2017 15:43

Re: Výpočet střední hodnoty

#3 12. 02. 2017 17:43

Re: Výpočet střední hodnoty

Zápatí