Matematické Fórum

mino1234 · 28. 02. 2017 11:45

Ahojte,

potreboval by som lepšie pochopiť iteračnú metódu združených smerov, kde je základným krokom vytvorenie A-ortogonálnej bázy vektorov. A tu som sa úplne stratil, lebo nikde nemám popísané, čo znamená A-ortogonálna báza vektorov a nič podobné neviem na internete nájsť.

Bol by som veľmi vďačný, ak by ste mi s tým vedeli pomôcť. Ďakujem.

vlado_bb · 28. 02. 2017 12:56

↑ mino1234: V literature, ktoru pouzivate alebo v poznamkach z prednasok definicia A-ortogonalnej bazy urcite je.

Bati · 28. 02. 2017 13:38

Ahoj ↑ mino1234:,
na tom nic není. A-ortogonalita znamená ortogonalita vzhledem ke skalárnímu součinu $(x,y)_A:=(Ax,y)=(x,Ay)$ , kde $(\cdot,\cdot)$ značí standardní skalární součin v $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ . Aby $(\cdot,\cdot)_A$ byl skutečně skalární součin, je nutné a postačující, aby $A$ byla symetrická a pozitivně definitní (to si můžeš snadno ověřit). S tímto novým sk. součinem pak můžeš pracovat jako obvykle a konstruovat A-ortogonální bázi, A-normu, apod.

Stejně to jde udělat i v $\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n$ , ale místo symetrie samozřejmě potřebuješ Hermitovskost.

A k čemu to je? Lineární úlohy $Ax=b$ se dají přeformulovat jako optimalizační problémy pro funkcionál $f(x)=\tfrac12 (x,x)_A+(b,x)$ , který často odpovídá určité energii daného systému.