Matematické Fórum

vytautas · 14. 04. 2017 11:06

zdravim

zaujimal by ma co najintuitivnejsi pohlad na Cantelliho (Borelovu vetu)

mame teda

Cantelli

Nech $\{A_n\}^\infty_{n=1}$ je postupnost nahodnych javov a nech $\sum^\infty_{n=1} P(A_n) < +\infty$ . Potom

$P(\limsup_{n \to \infty} A_n)= P(\bigcap^\infty_{n=1} \bigcup^\infty_{k=n} A_k )= 0$

$\limsup$ ma znazornovat, ze nastalo nekonecne vela javov $A_n$

preco je tomu tak ? ako sa da nahliadnut, ze prave tato mnozinova operacia nam vravi toto ?

Dakujem

jarrro · 14. 04. 2017 12:40

Povedať, že $\omega$ patrí do nekonečne veľa prvkov množinovej postupnosti je to isté ako povedať, že nie je pravda, že $\omega$ patrí iba do konečne veľa prvkov tej postupnosti.
Teda
$\{\omega ; \{n\in\mathbb{N} ; \omega\in A_n\} \text{ je nekonecna }\}=\{\omega ; \{n\in\mathbb{N} ; \omega\in A_n\} \text{ je konecna }\}^{\prime}$
Ale ak $\omega$ patri iba do konečne veľa $A$ , tak existuje $n$ také že $\omega$ nepatrí do $A_k$ pre k väčšie najviac rovné n.
Teda
$\omega\in\bigcup_{n=1}^{\infty}{\bigcap_{k=n}^{\infty}{A^{\prime}_{k}}}.$
Teda
$\{\omega ; \{n\in\mathbb{N} ; \omega\in A_n\} \text{ je nekonecna }\}=$\bigcup_{n=1}^{\infty}{\bigcap_{k=n}^{\infty}{A^{\prime}_{k}}}$^{\prime}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\bigcup_{k=n}^{\infty}{A_{k}}}$

vytautas

Ak chapem spravne, tak ak $X = \{ \omega, \omega \in A_n \text{pre konecne vela n}\}$ , tak $\forall \omega \in X \exists k$ take, ze $\omega \in A'_n$ $\forall n \ge k$ , teda $\omega \in \bigcap^\infty_{n=k} A'_n \subseteq \bigcup^\infty_{k=1} \bigcap^\infty_{n=k} A'_n$ Teda mam, ze $X \subseteq \bigcup^\infty_{k=1} \bigcap^\infty_{n=k} A'_n$ Ako viem, ze $X = \bigcup^\infty_{k=1} \bigcap^\infty_{n=k} A'_n$ ?

Dakujem.

Edit 1:

Nam nejde o to, aby $X = \bigcup^\infty_{k=1} \bigcap^\infty_{n=k} A'_n$ , ze ?

Ak $\omega \in \bigcup^\infty_{k=1} \bigcap^\infty_{n=k} A'_n$ co je jav, ze $\omega$ je len v konecnom pocet mnozin (nastal konecny pocet javov) , tak my chceme presny opak, aby $\omega \in \Big(\bigcup^\infty_{k=1} \bigcap^\infty_{n=k} A'_n \Big)^{'}=\bigcap^\infty_{k=1} \bigcup^\infty_{n=k} A_n$ , teda nastalo nekonecne vela javov. Je to tak ?

Edit 2:

Teda podobne plati aj pre $\liminf$ , nie ? Ked si zoberiem $\{\omega; \{n \in \mathbb{N}, \omega \in A'_n \} \text{je konecna} \}$ , teda patri do vsetkych az na konecny pocet, tak mam, ze existuje $k \in \mathbb{N}$ take, ze $\omega \in A_n \forall n \ge k$ , teda $\omega \in \bigcap^\infty_{n=k} A_n \subseteq \bigcup^\infty_{k=1}\bigcap^\infty_{n=k} A_n = \liminf_{k \to \infty} A_k$ .
Mam pravdu ?

jarrro · 14. 04. 2017 20:31

Platí
$$\(\exists k$$\forall n\geq k$$\omega\in A^{\prime}_n$\)\Leftrightarrow $\omega\in\bigcup_{k=1}^{\infty}{\bigcap_{n=k}^{\infty}{A^{\prime}_n}}$$
Je to preto lebo
$$\omega\in\bigcup_{k=1}^{\infty}{B_k}$\Leftrightarrow $\(\exists k$$\omega\in B_k$\)\\ $\omega\in\bigcap_{n=k}^{\infty}{B_n}$\Leftrightarrow $\(\forall n\geq k$$\omega\in B_n$\)$

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2017 11:06

Cantelliho veta

#2 14. 04. 2017 12:40

Re: Cantelliho veta

#3 14. 04. 2017 18:16 — Editoval vytautas (14. 04. 2017 18:43)

Re: Cantelliho veta

#4 14. 04. 2017 20:31

Re: Cantelliho veta

Zápatí