Matematické Fórum

s-o-k-o-l · 08. 05. 2017 18:26

Dobrý den,
chtěl bych poprosit o pomoc, kde dělám v příkladu na konci chybu.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/60211_1.png

Rozdělím na parciální zlomky:

Budu užívat tento vzorek:

Udělám zvlášť první a druhý zlomek a dostanu:

Pokud bude n sudé, pak suma bude nulová, pokud bude n liché, tak závorka mi dá -2 a zkrátím to s 2 ve jmenovateli ... jenže nejsem schopen se dostat k výsledku, který je v zadáání.

Děkuji za radu.

Rumburak

↑ s-o-k-o-l:

Ahoj. Jdeš na to, myslím, zbytečně složitě. Využil bych následující poznatek:

Pro $|z| < 1$ položme $q = -z^2$ , kde rovněž $|q| < 1$ , takže nekonečná geometrická řada

$\sum_{n=0}^{\infty} q^n$ je konvergentní a má součet

$\frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 + z^2} = f(z)$ .

Takže celkem

$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-z^2)^n = ...$

a upravit do standardního tvaru mocninné řady se středem v bodě 0, která zde bude zároveň
hledanou Laurentovou řadou.

s-o-k-o-l

↑ Rumburak:
Díky moc ... to je o dost lehčí. A pro případ, kdy mám absolutní hodnotu větší jak 1 ... postupuji korektně?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/25858_1.png
Mám problém upravit hranici, odkud kam jde suma.

Rumburak

↑ s-o-k-o-l:

Tan samotný rozvoj pro případ $|z|> 1$ (opraveno) je v podstatě správně (až na vloženou rovnost $q = \frac{1}{z^2}$ ,
která do tohoto řetězce rovností nepatří a navíc je i v daném kontextu chybná: zde totiž je $q = -\frac{1}{z^2}$ ).
Terminologicky zde ovšem nejde o LR se středem v bodě 0, ale o LR se středem v bodě $\infty$ .
(Ještě by bylo vhodné řadu upravit do jednoduššího tvaru, aby tam výraz $\frac{1}{z^2}$ nebyl dvakrát.
viz přesný tvar LŘ dle její definice).

s-o-k-o-l · 09. 05. 2017 21:28

↑ Rumburak:
Mockrát děkuju :)

Rumburak

↑ s-o-k-o-l:
Ještě doplním: LŘ vhodné funkce $f$ se středem v bodě $a \in \mathbb{C}$ má, pokud existuje, obecný tvar

(1) $\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$ ,

kde $c_n$ jsou čísla závislá příslušným způsobem na funkci $f$ . Je-li funkce $f$ navíc holomorfní
v bodě $a$ , pak pro $n = -1, -2, -3, ...$ je $a_n = 0$ a řada (1) má tvar

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-a)^n$ .

V tomto smyslu je nutno brát mé předchozí komentáře.

Dopručuji projít si teorii v příslušných studijních materiálech