Matematické Fórum

Krásné, trochu mě to potrápilo, ale nakonec mám zdá se odpověď:

Beru to z pohledu logiky (v tělesech jsem jaště slabší).

Je třeba se zamyslet nad tím, co znamená výraz [mathjax]a/b[/mathjax]. Tento výraz je vlastně zkratka za takový prvek univerza [mathjax]z[/mathjax] pro který platí: [mathjax]z=a/b \wedge\forall x (x=a/b \Rightarrow x=z)[/mathjax], pokud takový prvek existuje.

Zcela syntakticky správně by pak rovnice [mathjax]a/b = c/d[/mathjax] měla vypadat[mathjax2]
\exists x\exists y((x=a/b\wedge \forall u(u=a/b\Rightarrow x=u))\wedge(y=c/d\wedge \forall v(v=c/d\Rightarrow y=v))\wedge x=y)
[/mathjax2]
po dosazení za [mathjax]a[/mathjax] [mathjax]b[/mathjax] [mathjax]c[/mathjax] [mathjax]d[/mathjax] pak (při nějaké standardní axiomatizaci fonktoru [mathjax]/[/mathjax]) je pak zjevně dokazatelná negace.

pokud bys ale nechtěl přistoupit na až tak hluboký stupeň formalizace, tak ti nezbyde než konstatovat, že výraz [mathjax]1/0[/mathjax] (z důvodu uvedeným výše) nedává smysl, tudíž nelze o rovnosti [mathjax]1/0 = 1/0[/mathjax] vůbec uvažovat.

Já na takové složitosti nejsem, ale z mého pohledu je ten operátor / prostě zobrazení definované podle

c=a/b  =>  a = b*c

a pokud taková čísla nelze najít, tak prostě není definován.


No a když bychom chtěli množinu těch čísel rozšířit, podobně, jako jsme vymysleli imaginární čísla, že by se řeklo, že třeba

[mathjax]x = 1/0[/mathjax]

tak se hned dostaneme ke sporům, protože pak by muselo platit, že

  x = 1/0
5x = 5/0

takže

x * 0 = 1
5 * x * 0 = 5

Jenže my potřebujeme aby bylo násobení komutativní a asociativní, takže pravé strany se musí rovnat,

x * 0 = 1
x * (0 * 5) = 5

A máme tu ten spor. Takže takový symbol nemůžeme jednoduše zavést, narozdíl od té odmocniny z -1, pro kterou všechno krásně funguje.

Takže jestli tomu rozumím správně, tak předpokladem, že výraz 1/0 můžeme vytvořit si zavedeme do systému spor, a pak už v něm lze obecně dokázat i vyvrátit kde co...
Takže podle mě je jediný správný únik ten, že to prostě nesmíme udělat.