Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 05. 2017 16:17

check_drummer
Příspěvky: 3512
Reputace:   91 
 

Dokazatelnost podivné (ne)rovnosti

Ahoj,
inspirován jiným vléknem zde, zadávám tento dotaz. Tvrzení, která budeme zkoumat, jsou myšlena čistě formálně - tj. jako syntaktické výroky. Uvažujme, že se pohybujeme v nějakém obecném tělese T (tj. t je dáno jako nějaká běžná množina axiomů popisujících těleso).
1) Je (v T) dokazatelé $1/0 = 1/0$?
20 Je (v T) dokazatelné $(1/0 = 1/0)'$ (tj. negace předchozího výroku)?

Upozorňuji, že mi jde o syntaktickou dokazatelnost (ve smyslu "odovozování řetězců z jiných řetězců" - kde tyto řetězce pokládáme za dokazatelné výroky), tj. tvrzení, že "nulou dělit nelze" samo o sobě nelze považovat za "důkaz".

Nabízím řešení k diskusi:


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#2 27. 05. 2017 16:00 — Editoval check_drummer (27. 05. 2017 16:04)

check_drummer
Příspěvky: 3512
Reputace:   91 
 

Re: Dokazatelnost podivné (ne)rovnosti

Ahoj,
jeví se mi to tak, že platí jedno z následujících:

1) Znak pro dělení není součástí jazyka okruhu a tedy výraz 1/0 nemá smysl a tudíž ani uvedené výroky smysl nemají a tedy nemá smysl se bavit o jejich dokazatelnosti.

2) Znak pro dělení je sice součástí jazyka okruhů, ale některé výrazy nejsou povoleny, např. výrazy a/0, případně obecně výrazy a/b, kde je dokazatelné, že b=0.

Ponámka: Kdyby platil bod 1, pak bychom spoustu pěkných tvrzení nemohli formulovat, resp. museli bychom je složitě opisovat pomocí znaku násobení. Ale pro naše účely bych si v tom případě vybral nějakou jinou strukturu, např. s funkcí log a zkoumal bych třeba ("nedefinovaný") výraz log(0) - čímž bych bod 1 převedl na bod 2 (případně na bod 3).

3) Jsou povoleny i výrazy 1/0 (v syntaktickém smyslu, tj. jako "řetězce") a výroky, ve kterých se tyto výrazy vyskytují, lze zkoumat standardními postupy týkajícími se "dokazatelností". Tady se ale obávám, že by bylo možné dokázat nejen, že 1/0=1/0, ale např. i substitucí 1/0 do nějaké platné identity, např. že $(1/0+2)^2=(1/0)^2+2.(1/0).2+2^2$. No ale proč ne? :-)
Ale v tomto případě tedy z vlastností predikátu rovnosti nebude dokazatelné $(1/0 = 1/0)'$.

A jak to bude v bodě 3 s modelem (ve kterém by platilo 1/0=1/0)? O tom jsem nepřemýšlel, tak v krátkosti: Možná by ten model mohl mít samostatné individuum pro výraz 1/0. Případně žádný takový model uvedené struktury neexistuje - což by pak ale asi znamenalo, že je v té struktuře dokazatelné každé tvrzení, protože je platné ve všech modelech. :-) Takže struktura bez modelu je nezajímavá (sporná).


Tak asi tak, stále se nebráním diskusi. :-)


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#3 01. 09. 2021 18:08 — Editoval Wotton (01. 09. 2021 18:29)

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 825
Reputace:   25 
 

Re: Dokazatelnost podivné (ne)rovnosti

Krásné, trochu mě to potrápilo, ale nakonec mám zdá se odpověď:

Beru to z pohledu logiky (v tělesech jsem jaště slabší).

Je třeba se zamyslet nad tím, co znamená výraz [mathjax]a/b[/mathjax]. Tento výraz je vlastně zkratka za takový prvek univerza [mathjax]z[/mathjax] pro který platí: [mathjax]z=a/b \wedge\forall x (x=a/b \Rightarrow x=z)[/mathjax], pokud takový prvek existuje.

Zcela syntakticky správně by pak rovnice [mathjax]a/b = c/d[/mathjax] měla vypadat[mathjax2]
\exists x\exists y((x=a/b\wedge \forall u(u=a/b\Rightarrow x=u))\wedge(y=c/d\wedge \forall v(v=c/d\Rightarrow y=v))\wedge x=y)
[/mathjax2]

po dosazení za [mathjax]a[/mathjax] [mathjax]b[/mathjax] [mathjax]c[/mathjax] [mathjax]d[/mathjax] pak (při nějaké standardní axiomatizaci fonktoru [mathjax]/[/mathjax]) je pak zjevně dokazatelná negace.

pokud bys ale nechtěl přistoupit na až tak hluboký stupeň formalizace, tak ti nezbyde než konstatovat, že výraz [mathjax]1/0[/mathjax] (z důvodu uvedeným výše) nedává smysl, tudíž nelze o rovnosti [mathjax]1/0 = 1/0[/mathjax] vůbec uvažovat.


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

#4 01. 09. 2021 18:16

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 825
Reputace:   25 
 

Re: Dokazatelnost podivné (ne)rovnosti

↑ Wotton:
a teď mi k tomu došlo, že to je krásná ukázka toho, že neplatí ekvivalence výroků [mathjax2]1/0 \not = 1/0[/mathjax2] a [mathjax2]\neg(1/0 = 1/0)[/mathjax2]. (první je vyvratitelný a druhý dokazatelný - při standardní axiomatizaci dělení)


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

#5 01. 09. 2021 23:22

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4139
Reputace:   111 
 

Re: Dokazatelnost podivné (ne)rovnosti

Já na takové složitosti nejsem, ale z mého pohledu je ten operátor / prostě zobrazení definované podle

c=a/b  =>  a = b*c

a pokud taková čísla nelze najít, tak prostě není definován.


No a když bychom chtěli množinu těch čísel rozšířit, podobně, jako jsme vymysleli imaginární čísla, že by se řeklo, že třeba

[mathjax]x = 1/0[/mathjax]

tak se hned dostaneme ke sporům, protože pak by muselo platit, že

  x = 1/0
5x = 5/0

takže

x * 0 = 1
5 * x * 0 = 5

Jenže my potřebujeme aby bylo násobení komutativní a asociativní, takže pravé strany se musí rovnat,

x * 0 = 1
x * (0 * 5) = 5

A máme tu ten spor. Takže takový symbol nemůžeme jednoduše zavést, narozdíl od té odmocniny z -1, pro kterou všechno krásně funguje.

Takže jestli tomu rozumím správně, tak předpokladem, že výraz 1/0 můžeme vytvořit si zavedeme do systému spor, a pak už v něm lze obecně dokázat i vyvrátit kde co...
Takže podle mě je jediný správný únik ten, že to prostě nesmíme udělat.

Offline

 

#6 02. 09. 2021 14:33

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 825
Reputace:   25 
 

Re: Dokazatelnost podivné (ne)rovnosti

↑ MichalAld:
to ale nelze tak jednoduše udělat, dokud se bavíme jen o syntax jak chtěl na začátek kolega.


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson