Matematické Fórum

O.o · 17. 06. 2009 12:33 — Editoval O.o (17. 06. 2009 12:42)

Ahoj -),

byl jsem na zkoušce a měl jsem tam takový integrál, který se mi nepodařilo vyřešit.

$\int_{\frac{1}{2}}^1 \left( \int_1^{2y}\frac{sin(x-4)}{x}dx \right)dy$

Měl jsem zakreslit integrační obor, zaměnit meze a poté integrovat.

Zaměnil jsem tedy meze asi takto:

$1 \le x \le 2y \nl \frac{1}{2} \le y \le 1 \nl \ \nl \text{Zamena mezi na:} \nl 1 \le x \le 2 \nl \frac{1}{2}x \le y \le 1 \nl$

Integrál jsem tedy přepsal na a pokračoval s úpravou:

$\int_{1}^{2}{ \left ( \int_{\frac{1}{2}x}^{1}{\frac{sin(x-4)}{x}dy} \right ) } dx=\int_{1}^{2}{ \left[ \frac{sin(x-4)}{x} \left( \int_{\frac{1}{2}x}^{1}{dy} \right ) \right ] dx}=\int_{1}^{2}\frac{sin(x-4)}{x} \left [ 1-\frac{1}{2}x \right ] dx=-\frac{1}{2} \int_{1}^{2}{sin(x-4)dx}+\int_{1}^{2}\frac{sin(x-4)}{x}dx$

No a ten druhý integrál co mi vznikl nějak neumím vyřešit. Přemýšlel jsem nad Per Partes, ale do toho jsem se dost zamotal a došel čas.

Neporadil by mi prosím někdo, jak na to?

Děkuji

EDIT: Editoval jsem zápis, trochu mi ujel tex, ale teď už by to mělo vypadat snad ok.

musixx · 17. 06. 2009 13:01 — Editoval musixx (17. 06. 2009 13:03)

Možná naivně, ale na čitatel bych použil "vzoreček" a pak Sine integral a Cosine integral (jsou to funkce horní/dolní meze, takže chtěný integrál je rozdíl dvou funkčních hodnot). Výsledek to dá, ale analýzou jsem se nikdy nezabýval moc do hloubky - třeba bude někdo jiný vidět i jiný, snažší postup.

O.o · 18. 06. 2009 12:38

↑ musixx:

Díky moc,

teď se snažím se tím nějak prolouskat. Jen neznal by někdo ještě nějaký jiný způsob? My jsme se Sine itnegral a Cosine integral (viz. výše) vůbec jako způsob neučili, ani nezmiňovali, tak mne jen zajímá, jestli by to šlo i jinak? Bylo to ve zkoušce a nějak se to vyřešit dát musí, nebo ne?

Děkuji

PS: musixx: bylo by možné, že je ten integrál neřešitelný, kdybych se pohyboval jen na reálných číslech (jen jsem v rychlosti nahlédl na tvé odkazy a viděl jsem tam imaginární čísla, tak mne to jen zajímá :-))? Díkx

musixx · 18. 06. 2009 12:47 — Editoval musixx (18. 06. 2009 12:57)

↑ O.o: Co je to "řešitelný integrál"? Chápu-li správně, jak to myslíš, tak odpověď je 'ne'. Jedna věc je jistota, že uvažovaný určitý integrál s reálnými mezemi bude opět reálné číslo (uvažovaná funkce je na libovolném uzavřeném intervalu [EDIT: neobsahujícím nulu] spojitá a ohraničená). Jiná věc je, jak tohle číslo zapsat. Nekonečný součet, součin, funkční hodnota nějaké transcendentní funkce, atd. Pokud se v zápise objeví třeba nějaké imaginární jednotky, můžeme si být jisti, že při vyčíslení by "vypadly" - třeba jako v případě tří různých reálných kořenů kubického polynomu hledaných pomocí Cardanových vzorců. Tak to je, ale třeba se opravdu ještě vyjádří nějaký vzdělanější analytik ke způsobu, jak na takový integrál.

kaja(z_hajovny) · 18. 06. 2009 12:53

O.o napsal(a):
↑ musixx:
Bylo to ve zkoušce a nějak se to vyřešit dát musí, nebo ne?

Klidne tam mohl mit ucitel preklep, nekdy se to stava a musi se to potom zohlednit pri opravovani.

Rumburak

Jednou z možností by bylo vyjádřit fci sin (a v důsledku toho i příslušný integrál) řadou, například (i když netvrdím, že nejobratněji):
$\sin \, t \,=\,\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac {(-1)^n}{(2n + 1)!}\,t^{2n + 1}$ , t = x - 4 :

$\int_{1}^{2}\frac{sin(x-4)}{x}\text{d} x = \int_{1}^{2}\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac {(-1)^n}{(2n + 1)!}\,(x-4)^{2n + 1}\text{d} x = \int_{1}^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\,\frac {(-1)^n}{(2n + 1)!}\,\frac {(x-4)^{2n + 1}} {x}\text{d} x =$
$=\sum_{n=0}^{\infty} \,\int_{1}^{2}\,\frac {(-1)^n}{(2n + 1)!}\,\frac {(x-4)^{2n + 1}} {x}\text{d} x = \sum_{n=0}^{\infty} \,\frac {(-1)^n}{(2n + 1)!}\,\int_{1}^{2}\frac {(x-4)^{2n + 1}} {x}\text{d} x = \sum_{n=0}^{\infty} \,\frac {(-1)^n}{(2n + 1)!}\,I_{2n+1}$ ,
kde
(1) $I_m = \int_{1}^{2}\frac {(x-4)^{m}} {x}\text{d} x$ .
Záměna sumy a integrálu je korektní, neboť řada konverguje lokálně stejnoměrně v R a integruje se přes omezený interval.
Zbývá vyjádřit integrál I_m. Substitucí x - 4 = y obdržíme
$I_{m+1} = \int_{-3}^{-2}\frac {y^{m + 1}} {y + 4}\text{d} y = \int_{-3}^{-2} (y^{m} -\frac {4y^{m}} {y + 4}\,)\text{d} y = \frac {(-2)^{m+1}-(-3)^{m+1}}{m+1}\,-\,4I_m$ ,
což dává rekurentní vztah pro posloupnost (I_m). EDIT: Snadno nahlédneme, že $I_0 = \ln \,2$ .
Výpočet integrálu jsme tak převedli na řešení diferenční rovnice a součet řady - dál jsem to zatím nepočítal.

O.o · 18. 06. 2009 14:51

↑ musixx:
↑ Rumburak:
↑ kaja(z_hajovny):

Díky moc vám všem.

Na škole až tak podrobně řešení integrálů tedy neřešíme, tak jen zírám na převedení na součet, vypadá to zajímavě.

Možná jsme, ale špatně zaměnil meze a mělo to vyjít nějak lépe, co myslíte?

kaja(z_hajovny) · 18. 06. 2009 15:13

meze jsou zamenene dobre.

Rumburak · 18. 06. 2009 15:42

↑ O.o:
Problém není v mezích, ale v tom, že příslušná primtivní funkce se nedá vyjádřit "v uzavřeném tvaru" pomocí běžně známých funkcí.

O.o · 19. 06. 2009 00:48

↑ kaja(z_hajovny):
↑ Rumburak:

Ještě jednou díky, tak já se půjdu mrknout do školy a optat se na to, abych věděl, jak se tam ěnco takového dostalo :-).

Popky13 · 25. 08. 2011 21:44

Ahoj,
mohl bych se zeptat, jak přesně se meze u těch integrálů přeměnily, když se otočilo jejich pořadí?
Pokud by to šlo, hodil by se mi podrobnější a obecnější výklad.

Předem moc děkuju.

jelena · 25. 08. 2011 22:23

↑ Popky13:

Zdravím,

kolega ↑ O.o: studoval z těchto materiálů (klik na prohlížení online. Meze zaměnil hned v 1. příspěvku. Celé téma se ale točí okolo výpočtu pravděpodobně nepřesného zadání. Tedy toto téma není příliš vhodné jako vzorové, co se tyče záměny mezí.

V tomto tématu jsme zaměňovali něco jednoduššího a je odkaz na materiál.

Zakládej si prosím vlastní téma (případně s odkazem na jiné, které zaujalo) + odkaz na váš materiál (co v něm není jasné ohledně záměny mezi?). Zde už prosím nepokračuj.

Děkuji.

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2009 12:33 — Editoval O.o (17. 06. 2009 12:42)

Integrál - Záměna mezí

#2 17. 06. 2009 13:01 — Editoval musixx (17. 06. 2009 13:03)

Re: Integrál - Záměna mezí

#3 18. 06. 2009 12:38

Re: Integrál - Záměna mezí

#4 18. 06. 2009 12:47 — Editoval musixx (18. 06. 2009 12:57)

Re: Integrál - Záměna mezí

#5 18. 06. 2009 12:53

Re: Integrál - Záměna mezí

O.o napsal(a):

#6 18. 06. 2009 14:28 — Editoval Rumburak (18. 06. 2009 15:53)

Re: Integrál - Záměna mezí

#7 18. 06. 2009 14:51

Re: Integrál - Záměna mezí

#8 18. 06. 2009 15:13

Re: Integrál - Záměna mezí

#9 18. 06. 2009 15:42

Re: Integrál - Záměna mezí

#10 19. 06. 2009 00:48

Re: Integrál - Záměna mezí

#11 25. 08. 2011 21:44

Re: Integrál - Záměna mezí

#12 25. 08. 2011 22:23

Re: Integrál - Záměna mezí

Zápatí