Matematické Fórum

vytautas · 14. 07. 2017 18:40

Zdravim

mam problem s dokazom / s pochopenim / jednej implikacie Weyl Minkowskeho vety, teda, ze kazdy obmedzeny mnohosten je polytop.

Dokaz je zalozeny na tom, ze mame nas obmedzeny mnohosten $P=H_1 \cap ... \cap H_n$ , kde $H_i=\{y:y\cdot u_i\le a_i\}$ su uzavrete polpriestory, $u_i$ su jednotkove vektory a $a_i \in \mathbb{R}$

Pre $x \in P$ si definujem mnozinu $I(x)=\{1 \le i \le n, x\cdot u_i=a_i\}$

Vyuzivam dalej lemmu(3?), ktora vravi, ze $x \in EXT(P) \Leftrightarrow <u_i>_{i \in I(x)} = \mathbb{R}^d$ , kde $EXT(P)$ znaci mnozinu extremalnych bodov, teda takych, ktore ked vynechame, neporusi sa konvexita a $<.>$ znaci linearny obal cez $u_i$ , kde $i \in I(x)$ .

Potom mame pre extremalne body vyjadrenie(1?) : $\{x\}= \bigcap_{i \in I(x)} \{y:y\cdot u_i=a_i\}$

a z lemmy nakoniec vyplyva(2?), ze $|EXT(P)| \le \binom{n}{d}$ , teda je konecna a z Krein-Milmanovej vety mame, ze $P=conv(EXT(P))$ ak $P$ je konvexne teleso, tym padom $P$ je konvexnym obalom konecnej mnoziny a teda polytop.

Moja otazky: (1?) preco kazdy extremalny bod je prave takeho tvaru ?
(2?) ako to z toho vyplyva ? vobec to nevidim.
(3?) casti dokazu tejto lemmy mi nie su jasne, spisem ich presne neskor, najskor ma zaujimaju (1?),(2?).

za kazdu pomoc dakujem

Stýv · 14. 07. 2017 20:55

bez záruky, už jsem pár let ze školy a tohle není úplně moje parketa:
ad 1) vektory $u_i$ generujou $\mathbb R^d$ , proto má soustava jediný řešení (a tím řešením musí být $x$ )
ad 2) každý extremální bod je jednoznačně určen $d$ rovnicemi z $n$ možných

vytautas · 16. 07. 2017 10:50

↑ Stýv:

presne toto som potreboval, ďakujem !

Matematické Fórum

#1 14. 07. 2017 18:40

Weyl-minkowski

#2 14. 07. 2017 20:55

Re: Weyl-minkowski

#3 16. 07. 2017 10:50

Re: Weyl-minkowski

Zápatí