Matematické Fórum

vanok · 31. 07. 2017 16:27 — Editoval vanok (04. 10. 2017 23:14)

Pozdravujem ↑↑ akdar:,
V tomto vlakne si pohovorime o Apollonius-ovej kruznici a o niektorych jej vlasnostiach.
( vyuzijeme na to dve vlakna kde sme sa na to pripravili:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=97411
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=97495 ).
Definicia a vlasnost 1 Geometricke miesto bodov ktorych vzdialenosti od dvoch danych bodov maju konstantny pomer je kruznica (Apollonius-ova kruznica), ktorej priemer je usecka urcena dvomi bodmi (na tej istej priamke Ako dva dane body) takymi, ze kazdy z nich deli v danom konstantnom pomere vzdialenost medzi danymi bodomi
I ked sme ukazali v predoslych vlaknach ze tato definicia je "dobra" tak to pre istotu podrobne ukazeme.
Doplnme este definiciu:
Oznacme stredy Apolloniovych kruznic trojuholnika ABC $O_A, O_B,O_C$ ktore prechadzaju respektivne jeho vrcholmi $A,B,C$ .
Volajme ich respektivne A-Apolloniova kruznica, B-Apolloniova kruznica a C-Apolloniova kruznica.
Tak A-Apolloniova kruznica je GMB M takych, ze $\frac {MB}{MC}=\frac cb$ ;
B-Apolloniova kruznica je GMB M takych, ze $\frac {MC}{MA}=\frac ac$ ;
C-Apolloniova kruznica je GMB M takych, ze $\frac {MB}{MA}=\frac ab$ .

vanok · 21. 08. 2017 13:40

Doplnok.
Fixujme dva body A, B a urcijme GMB take, ze
$\frac {\overline {MA}}{\overline{MB}}=\frac m n$
Anlyza.
V trojuholniku ABM, narysujme vnutornu a vonkajsiu osu uhla AMB, ktore nam urcia body C a D na priamke AB ( vyberme bod C medzi A a B)
A plati $\frac {MA}{MB}=\frac {CA}{CB}= \frac {DA}{DB}=\frac m n$
To znamena tiez, ze body C a D jednoznacne urcene a ze uhol CMD je pravy... a ze GMB M je kruznica priemeru CD.

Teraz je prirodzene popisat construkciu bodov C, D en mame dane body A a B.
(Je uzitocne doplnit obrazok ... ako aj jednu moznu konstrukciu)

akdar · 28. 08. 2017 23:55

↑ Zdravím vanok:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-08/57291_appo.png

Doufám, že je to dobře :-)

vanok · 30. 08. 2017 15:30

Pozdravujem ↑ akdar:,
Ano je to jedna mozna konstrukcia.
Pochopitelne sme uz ukazali , ze body C D délia harmonicky usecku AB. To ti umoznuje nast aj ine mozne konstrukcie.
Ako sme si slubili, mozme ukazat aj nejake aplikacie, ktore teraz vieme vyriesit. Napr. Tento problem :
Na jednej priamke su dane 4 body A,B,C,D; najdite GMB, z ktorych vidime usecky AB a CD pod tym istym uhlom

Ak chces mozes skusit ho vyriesit.
Teraz alebo neskor.

vanok · 08. 09. 2017 21:05 — Editoval vanok (08. 09. 2017 21:08)

Ahoj ↑ akdar:,
Teraz prehlbme trochu studium o Apollonius-ovych kruzniciach.

Najprv je lahko poznamenat, ze kazdy trojuholnik ABC ma ich 3.
Kazda z nich prechadza jednym z vrcholov trojuholnika.
Tu, ktora prechadza vrcholom A, volajme A-Apollonius-ova kruznica...atd.

Dokazme, teraz
Tri Apollonius-ove kruznice trojuholnika ABC, sa pretinaju v dvoch fixnych bodoch, ktore sa volaju isodynamicke stredy.

Mas myslienky na dokaz?

vanok · 03. 10. 2017 23:33 — Editoval vanok (05. 10. 2017 04:02)

Dokaz poslednej vlaasnnostti
Predpokladajme, ze prve dve ( A-Apolloniova a B-Apolloniova kuznica) sa pretinaju v bodoch $M, N$
Tak plati $\frac {MB}{MC}=\frac cb$ a $\frac {MC}{MA}=\frac ac$
a podobne pre bod $N$ .
Vynasobenim dostaneme $\frac {MB}{MA}=\frac ab$ a tiez $\frac {NB}{NA}=\frac ab$
Posledny riadok znamena, ze body $M,N$ su na C-Apolloniovej kruznici (pozri #1).
Ze je to pekne!!!

vanok · 09. 10. 2017 13:51 — Editoval vanok (11. 10. 2017 12:41)

Vyriesme tiez cvicenie z#4.
Na jednej priamke su dane 4 body A,B,C,D; najdite GMB, z ktorych vidime usecky AB a CD pod tym istym uhlom

Prva cast dokazu.( obrazok vitany)
Akoze 4 body su na tej istej priamke, tak je jasne, ze hladame body M take, ze $\sphericalangle AMB=\sphericalangle CMD$ .
Analyzujme tuto situaciu.
Trojuholniky AMB a CMD maju rovnaky uhol v M a aj rovnaku vysku cez M.
Preto plati $\frac {MA.MB}{MC.MD}=\frac {AB}{CD};(1)$
Trojuholniky AMC a BMD maju analogicku vlasnost a tak plati
$\frac {MA.MC}{MB.MD}=\frac {AC}{BD};(2)$ .
Vynasobenim (1) a (2) dostaneme
$\frac {MA^2}{MD^2}=\frac {AB.AC}{CD.BD}$
Polozme geometricke priemery dvojic AB,AC a CD, BD respektivne m, n.
Potom posledna relacia nam da:
$\frac {MA^2}{MD^2}=\frac {m^2}{n^2}$ a tak mame $\frac {MA}{MD}=\frac mn$
co znamena, ze GMB M je ...