Matematické Fórum

Darko · 26. 09. 2017 00:35

Nejspíš je něco špatně, že?

$\zeta (-1) = -\frac{1}{12}$
$-\frac{1}{12} = 1 + 2 +3 + 4 + ...$

$a = b \Rightarrow |a| = |b|$
$|-\frac{1}{12} |= |1 + 2 +3 + 4 + ...|$

$|a + b| = |a| + |b| \wedge a,b >= 0$
$|-\frac{1}{12} |= |1| + |2| +|3| + |4| + ...$

$|a| = a \wedge a >= 0$
$|a| = -a \wedge a <= 0$
$\frac{1}{12}= 1 + 2 +3 + 4 + ...$

$\frac{1}{12} = -\frac{1}{12}$
$1 = -1$

Prosím vysvětlit, který krok je chybný.

Bati · 26. 09. 2017 06:34

↑ Darko:
$1 + 2 +3 + 4 +\ldots =+\infty$ , tj.
$\zeta(-1)\neq\sum_{k=1}^{\infty}k$ .

Darko · 26. 09. 2017 11:53 — Editoval Darko (26. 09. 2017 11:54)

↑ Bati:
Tak když je zeta definovaná jako součet nekonečné řady (takto:)
$https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50408dab879680a98bbfc49c3e5a85f1f7bcd86f$
tak
$\zeta (-1) = 1 + \frac{1}{2^{-1}} + \frac{1}{3^{-1}} + ...$
$\zeta (-1) = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{1}{3}} + ...$
= 1 + 2 + 3 + 4 + ...
ne?

LukasM · 26. 09. 2017 12:10

↑ Darko:
Ano, a tahle řada nekonverguje. Proto také není rovna -1/12, a hodnota zeta funkce v bodě -1 není definována. To, co má v bodě -1 hodnotu -1/12 je hodnota analytického prodloužení zeta funkce, které ale v těch dodefinovaných bodech už nevyhovuje té původní definici.

Pokud někdo někde píše $-\frac{1}{12} = 1 + 2 +3 + 4 + ...$ , pak tím symbolem na pravé straně myslí něco jiného, než co jím typicky myslí (což bývá hodnota součtu příslušné řady, ve smyslu limity posloupnosti částečných součtů). A proto ta pravidla, která při těch algebraických úpravách v prvním příspěvku používáš, vůbec nemusí platit. (Nechme stranou, že i když se tím myslí "obyčejný" nekonečný součet, pořád nemusí všechna běžná pravidla platit, například obecně neplatí komutativita.)

Matematičtí experti mně jistě opraví / doplní.

Darko · 26. 09. 2017 13:14 — Editoval Darko (26. 09. 2017 13:17)

↑ LukasM:
Měl jsem za to, že v "nekonečnu" může nabýt hodnota součtu drasticky jiného výsledku, než by se racionálně (limitně) zdálo.

Je pravda, že limitně řada diverguje (= +inf), ale fakt, že matematická pravidla i tak prostá jako je absolutní hodnota někdy zkrátka neplatí je zvláštní. (osobně jsem si to představoval jako dráhu po neúplné kružnici, která se limitně blíží k uzavřené kružnici, limita dráhy je pak nekonečno, nikoliv obvod jak by se racionálně zdálo, jen je to obráceně.)

Každopádně zeta(-1) = -1/12 je tabulková hodnota

ačkoliv se tomu těžko věří, když jsem viděl počátek důkazu od Eulera, který vypadal asi nějak takhle:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... = s$
$0 - 4 + 0 - 8 + 0 - 12 + 0 - 16 + ... = -4s$
__________________________________
$1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ... = -3s$

což mi osobně připadá jako guláš, ze kterého s trochou štěstí možná něco vyjde, protože velmi podobně můžu dokázat, že
$1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1... = t$
$0 - 1 + 0 -1 + 0 - 1 + ... = -t$
____________________________
$1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + ...= 0$
$1 + 1 + 1 + 1 + ... = 0$

následně jsem už velmi podobně dokázal, že zeta(-1) = -1/12
$1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ... = -3s$
$0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + ... = -3s$
_______________________________
$1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = -6s$
$0 +1 - 1 + 1 - 1 + 1 + ... = -6s$
_____________________________
$1 = -12s$
$s = -\frac{1}{12}$

... krajně nedůvěryhodný důkaz, řekl bych, ale vypadá to, že se budu muset smířit s tím, že to "tak prostě je".
Důvod proč jsem do toho cpal absolutní hodnotu, bylo ukázat, že je to nesmysl.

Každopádně díky za odpovědi.