Matematické Fórum

teolog · 15. 12. 2017 14:52 — Editoval teolog (15. 12. 2017 14:56)

Zdravím,
po delší době někoho doučuji a nevím si rady s limitou $\lim_{x\to0}$\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}$$ .
Převedení na společného jmenovatele, l'Hospital ani vytýkání x nebo e^x nepomáhá. Nemohl by někdo aspoň napovědět?
Díky

EDIT: Tak už to mám, l´Hospitala je třeba použít dvakrát. Nicméně mne napadá, jestli by to šlo řešit i bez toho l´Hospitala.

Stýv · 15. 12. 2017 15:54

Taylorův rozvoj e^x. Což je ovšem podobný princip jako ten l'Hospital.

Marian · 15. 12. 2017 16:06 — Editoval Marian (15. 12. 2017 16:13)

↑ teolog:

Pokud jsi schopen dokázat existenci zadané limity (bez derivací), potom můžeš využít vztahu

$\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}f(-x),$

kde f(x) bude funkce v původní limitě. Odtud potom sečtením uvedených limit plyne (označím původní limitu jako L):

$2L &=\lim_{x\to 0}\left (\frac{1}{\textnormal{e}^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{\textnormal{e}^{-x}-1}+\frac{1}{x}\right )\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1-\textnormal{e}^x}{\textnormal{e}^x-1}=-1.$

Odtud by potom bylo L=-1/2.

Určitě ale někdo z kolegů přidá další nápady.

teolog · 16. 12. 2017 20:11

Díky moc.

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2017 14:52 — Editoval teolog (15. 12. 2017 14:56)

limita

#2 15. 12. 2017 15:54

Re: limita

#3 15. 12. 2017 16:06 — Editoval Marian (15. 12. 2017 16:13)

Re: limita

#4 16. 12. 2017 20:11

Re: limita

Zápatí