Matematické Fórum

Pit · 22. 02. 2010 16:28

Ahoj,
poprvade abych rekl, takle zoufalej sem v matice snad nikdy nebyl. mel jsem si k mature zopakovat analytickou geometrii az po kuzelosecky - jenze ouha. Sesit nepochopitelne v tahu a studijnich materialu pramalo.
Dneska sme z toho psali test a matematicky jsem nevyresil ani jednu ulohu :/
Proto bych potreboval bud ukazat par prikaldu, nevezt na postup nebo odkazat na nake studijni materialy. Rad bych podotkl, ze analyticka geometrie nikdy nebyla moje silna stranka :/

Tady dam priklady z dnesniho testu:

1) Určete zda body A,B,C,D leží v rovině A[1,5,2], B [3,-6,1], C [-1,1,0], D [-2,1,-1]

- podle meho nelezi, jak to oduvodnim? Ja nato "prisel" tak ze jsem si to proste predstavil. Ale pokud se vzpominam, tak aby lezely vsechny v jedne rovine, musely by mit stejny nasobek vsechny body - to nemaji. Je tak?

2) Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem A [2,-3,1] a primkou p: x=t, y=2+3t, z=1-t

tady si nevim rady a popravde VUBEC nevim co mam delat :(

Dalsi priklady jsou si asi podobne, takze bych si je snad dokazal odvodit.
Prosim zkuste mi poradit - jeste si projdu tady na webu resene priklady a uvidim jestli mi to pomuze. V tomhle opravdu plavu :-[

Doxxik · 22. 02. 2010 16:41

1) šel bch na to takhle (nevím, zda-li to není zbytečně moc těžké) - rovina je určena třemi body, proto bych si z nich vytvořil rovnici roviny jimi tvořené a následně do této rovnice dosadil souřadnice onoho zbývajícího bodu - vyjde-li platná rovnost, pak jsou v jedné rovině; nevyjde-li, pak nejsou

2) snažil bych se vytvořit obecnou rovnici roviny. šel bych na to tak, že bych zjistil rovnici přímky procházející bodem A a přímkou p, která je kolmá na p
-> mám dvě různoběžné přímky, mám tedy určenou rovinu
-> získám z nich směrové vektory (oba tyto vektory náleží dané rovině)
-> pro obecnou rovnici však potřebuju normálový vektor roviny -> získám jej součinem dvou vektorů (tím, co se značí "u x v")
-> dosadím souřadenice bodu A (nebo jiného bodu roviny), dopočítám "d" -> mám rovnici roviny

Olin · 22. 02. 2010 18:24

1) Stačí rozhodnout, jestli jsou vektory AB, AC, AD (nebo kterákoliv jiná trojice "vycházející z jednoho bodu") komplanární (tj. že leží v jedné rovině). To lze určit např. pomocí smíšeného součinu - pokud vyjde 0, jsou komplanární.

2) Jako nejjednodušší bych viděl vybrat si z přímky dva různé body (např. dosazením t=0 a t=1) a máme z toho úlohu určení roviny dané třemi body. Pokud tyto nové body označíme B a C, normálový vektor roviny bude vektor kolmý na vektory AB i AC, můžeme ho tedy určit vektorovým součinem.

Pit · 23. 02. 2010 16:09

↑ Doxxik:
↑ Olin:

Diky za rychle rady, ted jen pro kontrolu jestli sem to dobre pochopil:
1.) A[1,5,2]B[3,-6,1]C[-1,1,0]D[-2,1-1] z tehle bodu si vytvorim dva vektory u(B-A) a v(C-A) takze u=(2,-11,-1) a v=(-2,-4,-2), abych ziskal normalovy vektor udelam vektorovy soucin u x v=(18,6,-30) a ted muzu vytovrit obecnou rovnici $18x+6y-30z+d=0$ dosadim bod A a dopocitam d. d vyjde 12 takze napisu opet obecnou rovnici $18x+6y-30z+12=0$ a dosadim nepouzity bod (v mem pripade bod D) rovnice vyjde $12=0$ tudiz bod nelezi v rovine. Je tak?

2.) Takze jako prvni si vyjadrim dva libovolne body z primky (nejlepe se jevi t=0 a t=1), body oznacim jako B,C. Vyjadrim si opet dva vektorya z nich pak udelam vektorovy soucin. Opet do vytvorene obecne rovnice dosadim bod A a dopocitam d. Vysledna obecna rovnice je potom $5x+2y+11z-15=0$ je to tak?

Zatim diky :)

EDIT: Chtel bych jeste zkontrolovat prosim jeden priklad:

urcete vzajemnou polohu rovin $\rho: x=2s, y=2r, z=2-r-s$ a $\sigma: x=1-u-2v, y=u, z=v$
jsou-li rovnobezne urcete jejich vzadelonst, jsou-li ruznobezne, urcete jejich prusecik

Prvni je zapotrebi zjistit vzajemna poloha rovin. Urcil sem si normalove vektory obou rovin a vyslo ze r x s =(-2,-2,-4) a u x v =(1,1,2) a tudiz jsou rovnobezne. Ted je zapotrebi spocitat vzdalenost. Ta se pocita jako vzdalenost jednoho bodu roviny od roviny druhe (je lepsi zpusob?) a tady nastavji me potize... jak si vyjadrim bod roviny? Staci to ze za oba parametry v jedne rovine dosadim nake cislo a vyjde mi xyz ? ja to udelal te ta sem dosadil s=0, r=0 a vzdalenost pocital podle vzorce $d=\frac{|ap_1+bp_2+cp_3+e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ a vyslo mi ze $d=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Pit · 23. 02. 2010 19:35

nikdo nevite ten posledni priklad ?:/

marnes · 23. 02. 2010 20:18

↑ Pit:postup máš dobře

Pit · 23. 02. 2010 22:51

↑ marnes:dekuji

amatika · 25. 02. 2010 22:00

na vypocet vzdialenosti dvoch rovnobeznych rovin existuje vzorec ... v citateli je absolutna hodnota d2-d1, v menovateli velkost normaloveho vektora rovin...(ospravedlnujem sa, ale neviem to inak napísať)

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2010 16:28

Analyticka geometrie

#2 22. 02. 2010 16:41

Re: Analyticka geometrie

#3 22. 02. 2010 18:24

Re: Analyticka geometrie

#4 23. 02. 2010 16:09

Re: Analyticka geometrie

#5 23. 02. 2010 19:35

Re: Analyticka geometrie

#6 23. 02. 2010 20:18

Re: Analyticka geometrie

#7 23. 02. 2010 22:51

Re: Analyticka geometrie

#8 25. 02. 2010 22:00

Re: Analyticka geometrie

Zápatí