Matematické Fórum

Avery · 13. 08. 2007 12:53

Funkce f (x) = (7/3) . [2.sin x + cos (2x)] je definována na intervalu <– pí; pí/2> (pí je Ludolfovo číslo). Nech? funkční hodnota v maximu teto funkce na zadaném intervalu je MAX a v minimu MIN. Určete MAX – MIN.
a) 12 b) 25/2 c) 11 d) 23/2 e) 10 f) 21/2

Mohl by mi někdo prosím poradit jak na to? Předem děkuji.

jelena · 13. 08. 2007 14:40

http://www.matematika.havrlant.net/foru … php?id=226 - zde je postup.

Nejprve bude nutne najit derivaci zadane funkce, dale je jiz uvedeno, jak na to. Dej vedet, pokud nastane problem.

Kondr · 13. 08. 2007 14:44

Protože je funkce spojitá, globální minimum a maximum na daném intervalu proto mohou být v lokálních extrémech nebo na koncích intervalu. V lokálních extrémech je nulová první derivace:
f'(x)=(7/3).(2.cos(x)-2sin(2x))=(7/3).(2.cos(x)-4sin(x)cos(x))=(14/3).cos(x)(1-2sin(x))
To je nula, pokud je cos(x)=0 nebo sin(x)=1/2. To může na daném intervalu nastat pro
x=pí/2, pak f(x)=7/3,
x=-pí/2, pak f(x)=-7,
x=pí/6, pak f(x)=7/2.
V jednom krajním bodě máme už f(x) vyčíslenu, vyčíslíme ji tedy i v bodě druhém:
a pro x=-pí je f(x)=7/3
Ze čtyř hodnot vybereme maximum a minimum, jejich rozdíl je 7/2-(-7)=21/2.

Jiný přístup:
Položme y=sin(x). Když x probíhá <– pí; pí/2>, probíhá y celý interval <-1,1>. Protože
$cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=1-2\cdot sin^2(x)$ , je
$f(x)=(7/3).(2y+1-2y^2)=(14/3).(1/2+y-y^2)=(14/3).(3/4-|y-1/2|^2)$
Snadno nahlédneme, že $0\leq|y-1/2|\leq3/2$ a dosazením získáme MAX a MIN.

A ještě jeden hint: pokud se toto objeví v TSP nebo jiném testu, kde stačí zakroužkovat odpověď je ta možnost 21/2 nápadná tím, že má jako jediná čitatel dělitelný 7. Je celkem málo pravděpodobné, že by hodnota 2.sin x + cos (2x) v extrému nebo na konci intervalu byla zlomkem, který má jmenovatel dělitelný 7 (o čitateli to však tvrdit nelze!), takže se sedmička ve výrazu (7/3) . [2.sin x + cos (2x)] pravděpodobně nepokrátí. S tímto ale není radno si zahrávat, nicméně když na poslední otázky v testu zbývá málo času.... ;)

Avery · 13. 08. 2007 18:54

Díky za odpověď ale stále se mi nerosvítilo :-( postup chápu ale není mě jasný jak si dospěl k (14/3).cos(x)(1-2sin(x)) = (7/3).(2.cos(x)-4sin(x)cos(x)) a proč první derivace fce cos(2x) je -2sin(2x) a ne -sin(2x)? Mohl bys mi to prosím vysvětlit?

jelena · 13. 08. 2007 20:01 — Editoval jelena (14. 08. 2007 07:55)

Troufnu si vysvetlit Kondruv postup

Avery napsal(a):
proč první derivace fce cos(2x) je -2sin(2x) a ne -sin(2x)?

cos(2x) - to je slozena funkce ( je to takova funkce, ktera "neodborne" receno nevypada stejne, jako v tabulkach ( tam je cosx, je ma v sobe schovanou dalsi funkci - v nasem pripade (2x)). Pri vypoctu je nutne toto zohlednit a derivaci vnejsi funkci jeste donasobit derivaci vnitrni funkce

(cos(2x))´ = -sin(2x) * (2x)´ = - 2 sin (2x)

Jak poznat, ze to je slozena funkce - jsou to ruzne "babske rady" - jedna rika, ze na cely zapis se mas divat jako na orech a nejdriv derivuj slupku a pak to rozlouskni a derivuj vnitrek. Druha zas je takova. ze si mas predstavit, jako ze mas pouze hodne primitivni kalkulacku a kazdou operaci musis proves zvlast, vysledek zapisovat na papir - tu operaci, co provedes jako posledni povazuj za vnejsi funkci a derivuj ji jako prvni a postupne derivuj vse ostatni a výsledky nasob mezi sebou.

Avery napsal(a):
jak si dospěl k (14/3).cos(x)(1-2sin(x)) = (7/3).(2.cos(x)-4sin(x)cos(x))

f(x)=((7/3).(2.cos(x)-2sin(2x))) OPRAVA : toto uz je vyraz po derivovani.

ted trochu upravujeme zavorky

=(7/3).(2.cos(x)-4sin(x)cos(x)) tady kolega provedl upravy v zavorkach

sin(2x) = 2 * sinx * cos x podle vzorce pro dvounasobny uhel

=(14/3).cos(x)(1-2sin(x)) - tady vytkl 2 cos (x) a dostal to co ma

Kondr · 13. 08. 2007 23:31

Jeleno, díky za příspěvek, pochopil jsem z něj, že jsem ve svém řešení udělal dva přečiny proti pravidlům slušného psaní matematických textů. Takže to uvedu na pravou míru:

To, co jsem derivoval bylo původní zadání (znak derivace tam není navíc), dostal jsem
f'(x)=(7/3).(2.cos(x)-2sin(2x)).
Při tomto derivování jsem Averymu zákeřně zatajil, jak se derivují složené funkce, čímž jsem ho zmátl. A abych ho rozhodil úplně, použil jsem další trik, a to vzorec
$sin(2x) = 2\sin{x}\cdot\cos{x}$ .
Tím jsem dostal
f'(x)=(7/3).(2.cos(x)-4sin(x)cos(x)).
Další kroky (rozklad na součin, nalezení stacionárních bodů -- tj. bodů v nichž je f'(x)=0 a vyčíslení f na krajích intervalu a ve stacionárních bodech) se už obešly bez dalších podlostí z mé strany a nebudu je proto komentovat.

Ještě jednou se omlouvám za uspěchané řešení. Je už všechno jasné?

jelena · 14. 08. 2007 07:57

Take jsem svuj predchozi prispevek upravila :-) - skutecne to bylo zderivovano a pak teprv upravy

Avery · 14. 08. 2007 14:02

Moc díky za vaší pomoc už sem to pochopil :-)

Matematické Fórum

#1 13. 08. 2007 12:53

Určení maxima a minima funkce

#2 13. 08. 2007 14:40

Re: Určení maxima a minima funkce

#3 13. 08. 2007 14:44

Re: Určení maxima a minima funkce

#4 13. 08. 2007 18:54

Re: Určení maxima a minima funkce

#5 13. 08. 2007 20:01 — Editoval jelena (14. 08. 2007 07:55)

Re: Určení maxima a minima funkce

Avery napsal(a):

Avery napsal(a):

#6 13. 08. 2007 23:31

Re: Určení maxima a minima funkce

#7 14. 08. 2007 07:57

Re: Určení maxima a minima funkce

#8 14. 08. 2007 14:02

Re: Určení maxima a minima funkce

Zápatí