Matematické Fórum

Miki1990

Ahoj :) prosím o pomoc s tímhle:

Pro které parametry $a \in R$ konverguje:
1) $a_n = \frac{2^n 3^{n+1} +1}{1+a^n}$
2) $a_n = \frac{n^2n! + (n+1)!}{(n+a)!}$

Díky :)

Marian · 28. 02. 2010 21:51

↑ Miki1990:
(ad 1) V tomto případě stačí pouze vhodně upravit a provést nezbytnou diskuzi. Je totiž (tato úprava se ovšem pro zcela obecnou diskuzi nebude hodit)
$a_n=\frac{3\cdot 6^n+1}{a^n(1+a^{-n})}=3\cdot\left (\frac{6}{a}\right )^n\cdot\frac{1}{1+a^{-n}}+\frac{1}{1+a^n},\qquad a\neq 0.$

Pro a=0 je situace jasná. Důležitou roli bude hrát číslo 6, resp. vztah podílu 6/a k číslu 1 resp. -1. Vybral bych si proto nejprve kladné parametry "a", postupně takto:

(i) $a\in (0,1)$ ,
(ii) $a=1$ ,
(iii) $a\in (1,6)$ ,
(iv) $a\in (6,\infty)$ .

Pro záporné hodnoty bude úvaha podobná. U všech případů se vychází z limity typu $\lim_{n\to\infty}q^n$ , kde $q\in\mathbb{R}$ je nějaký reálný parametr.

(ad 2) Zde mi chybí informace o tom, jak moc dobře umíš pracovat se zobecněním faktoriálu, tj. znáš-li základní vlastnosti a definici funkce Gamma(x), neboť $(n+a)!$ dává pro kladná racionální (necelá) čísla nebo iracionální čísla netriviální hodnoty. Bohužel, zadání říká, že $a\in\mathbb{R}$ . Příliš tomu však nevěřím. Pokud $a\in\mathbb{N}_0$ , potom bude stačít jednoduchá úprava, kterou bys mohl(a) zvládnout.

Wotton · 28. 02. 2010 22:10 — Editoval Wotton (01. 03. 2010 08:38)

první si uprav takhle:
$\frac{2^n 3^{n+1} +1}{1+a^n}\ =\ \frac{3\cdot 2^n 3^n +1}{a^n+1}\ =\ \frac{3\cdot 6^n +1}{a^n+1}$ dále už bž by to mělo být jasné...

U druhého je jasné, že a by mělo být celé číslo:
druhý upravíš takhle:
$\frac{n^2n! + (n+1)!}{(n+a)!}\ =\ \frac{n!(n^2+(n+1))}{(n+a)!}\ =\ \frac{n!(n^2+n+1)}{(n+a)!}\ =\ \frac{n^2+n+1}{(n+1)(n+2)\dots(n+a)}$ . No a teď už jen stačí využít toho že $(n+1)(n+2)\dots(n+a)$ se pro n jdoucí k nekonečnu chová stejně jako $n^{a}$

EDIT: oprava neodpustitelné chyby ve vytýkání!!!

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2010 19:08 — Editoval Miki1990 (27. 02. 2010 19:27)

Konvergence číselných posloupností

#2 28. 02. 2010 21:51

Re: Konvergence číselných posloupností

#3 28. 02. 2010 22:10 — Editoval Wotton (01. 03. 2010 08:38)

Re: Konvergence číselných posloupností

Zápatí