Matematické Fórum

drax · 01. 03. 2010 15:47

Zdravím, mohl by mi někdo vypočítat, poradit nebo aspoň nastínit jak vypočítat tyto příklady?

f(x)= arccos(12 - 2x - 2x^2) zde je potřeba vypočítat Df

cosx >= -2/3

sinx + cos 2x >= 0 a tyto dvě nerovnice

Budu rád za každou radu. Dík

jelena · 01. 03. 2010 16:29

↑ drax:

Zdravím,

nastiním:

z vlastnosti funkce arccos - viz def. obor, řešíme "dvojitou" nerovnici $-1\le12 - 2x - 2x^2 \le 1$

Goniometrické nerovnice - co konkrétně dělá problém?

$\cos x \ge -\frac23$ - nejlepé pomocí jednotkové kružnice nebo grafu funkce cos.

$\sin x + \cos 2x \ge 0$ použit vzorec pro cos dvojnásobného úhlu, po úpravách vznikne kvadratická nerovnice (lze použit substituci sin x =a)

Ať se vede.

Rumburak

1. Definičním oborem fce arccos je uzavřený interval [-1, 1] , takže jde o to vyřešit soustavu nerovnic -1 <= 12 - 2x - 2x^2 <= 1 .

2. a) Pro $x \in [0, \,\pi]$ aplikujeme na nerovnost cos x >= -2/3 funkci arccos, klerá je klesající (tím se otočí znaménko nerovnosti)
a dostaneme $0 \le x \le \arccos (-2/3) = \pi - \arccos(2/3)$ .

b) Pro $x \in [-\pi, \,0]$ vzhledem k předchozímu a ke skutečnosti, že fce cos je sudá, dostáváme další sadu řešení splňující $-$\pi - \arccos(2/3)$ \le x \le 0$ ,
celkem pro $x \in [-\pi, \,\pi]$ pak získáme řešení ve tvaru

$-$\pi - \arccos(2/3)$ \le x \le \pi - \arccos(2/3)$ .

c) Úvahou o periodicitě funkce cos konečně obdržíme

$-$\pi - \arccos(2/3)$ + 2k\pi \le x \le \pi - \arccos(2/3) + 2k\pi$ , kde k je libovolné celé číslo.

3. S návodem od Jeleny (kterou tímto zdravím) vyřešíme nerovnost pro neznámou a = sin x a pak postupujeme obdobně jako v předchozí úloze
s tím, že využijeme funkci arcsin (pokud to nepůjde elementárními prostředky založenými na znalostech hodnot funkce sin ve významných bodech)
a vlasnosti funkce sin .

zdenek1 · 01. 03. 2010 17:31

3. $\sin x+\cos2x\geq0$
$\sin x+1-2\sin^2x\geq0$
$2\sin^2x-\sin x-1\leq0$
$(2\sin x+1)(\sin-1)\leq0$
$-\frac12\leq\sin x\leq1$

vzhledem k vlastnostem fce sinus se horní podmínkou nemusíme zabývat
$-\frac12\leq\sin x$
$x\in[-\frac\pi6+2k\pi;\frac{7\pi}6+2k\pi]$

jelena · 02. 03. 2010 16:42

↑ Rumburak: odpovídám na pozdrav a také srdečně zdravím :-)

↑ zdenek1: srdečný pozdrav :-)

Děkuji za řešení, ale trochu prostoru pro kreativní nápady autora dotazu ovšem by se mohlo ponechat - libí se mi autorova stupnice dosažení výsledku a následné řazení odpovědí.

Abych nebyla úplně OT, tak alespoň autorovi dotazu připomenu nástroje z oblibeného tématu, pomoci kterých může kontrolovat své výsledky.

Mějte se hezky :-)

drax · 03. 03. 2010 17:07

zdenek1:
Můžu se zeptat jak jsi přišel z prvniho na druhy radek? Chapu ze vzorec je cos^2x - sin^2x a pak jsi to nejak vytknul nebo co?:)) Sorrac jsem bambus:D

Stýv · 03. 03. 2010 18:05

↑ drax: použil rovnost $sin^2x+cos^2x=1$

Matematické Fórum

#1 01. 03. 2010 15:47

Nerovnice a Df goniometrické a cyklometrické funkce

#2 01. 03. 2010 16:29

Re: Nerovnice a Df goniometrické a cyklometrické funkce

#3 01. 03. 2010 16:30 — Editoval Rumburak (01. 03. 2010 16:49)

Re: Nerovnice a Df goniometrické a cyklometrické funkce

#4 01. 03. 2010 17:31

Re: Nerovnice a Df goniometrické a cyklometrické funkce

#5 02. 03. 2010 16:42

Re: Nerovnice a Df goniometrické a cyklometrické funkce

#6 03. 03. 2010 17:07

Re: Nerovnice a Df goniometrické a cyklometrické funkce

#7 03. 03. 2010 18:05

Re: Nerovnice a Df goniometrické a cyklometrické funkce

Zápatí