Matematické Fórum

Ad 1:

Vektor je lin. kombinací vektorů , pokud existují takové, že .  Jestli máš ve skriptech nějakou šílenější definic s nějakou hezkou sumičkou, tak si ji zkus rozepsat pro tenhle konkrétní příklad, ať tam vidíš, že to tak skutečně je.

Pak je to jednoduché, stačí si rozepsat vektory x, y, z a podívat se, jestli takové \alpha a \beta skutečně existují:



Teď máme soustavu tří rovnic o dvou neznámých, konkrétně rovnice





Soustavu se pokusíme vyřešit.  Ze druhé rovnice je hned vidět, že , dosadíme to do první rovnice:




A teď oboje do třetí



Poslední rovnost neplatí, tedy neexistují žádná taková požadovaná -- to znamená, že z není lin. kombinací x, y.

Ad 2:

Prakticky totéž.  Jsou takové dvě běžně používané definice lineární závislosti množiny vektorů -- jedna je, že množina je lineárně závislá, pokud v ní existuje vektor, který je lineární kombinací zbývajících.  Tím si to můžeš převést na předchozí a ptát se, jestli třeba z je lineární kombinací x, y.

Druhá definice je, že množina { x, y, z } je lineárně závislá, pokud existují taková, že , přičemž aspoň jedno z je nenulové.  Můžeme zase řešit tohle jako soustavu rovnic a podívat se, jaká najdeme řešení.  (Určitě najdeme řešení takové, že alpha = beta = gamma = 0 -- pokud je tohle ovšem řešení jediné, tak to znamená, že množina je lineárně nezávislá; pokud existuje i jiné řešení, pak je lineárně závislá.)

Tedy máme rovnice





Můžeme to hezky řešit pomocí matice s algoritmem pana Gausse -- matici stačí převést do schodového tvaru -- pokud vyjde nějaký řádek plný samých nul, pak existuje řešení soustavy, kde buď alpha nebo beta nebo gamma je nenulová, a tím je odpověď „Jsou lineárně závislé“, v opačném případě je řešení jediné, a to samé nuly -- jak sem psal výše, to znamená, že vektory jsou nezávislé.

Ad 3:

To je vlastně tatáž otázka jako 2.  Osobně bych si to napsal do matice a použil na ni Gaussovu eliminaci.

Děkuju Vám oběma za vysvětlení. Bohužel já to nemůžu řešit maticemi, protože ty sme ještě nebrali.

Musim to řešit rovnicemi a třeba u tý otázky 3 - vůbec nevim jak mám z toho všeho udělat srozumitelnou rovnici :-)

↑ Ivana:
podle výsledků to máš správně, ale nemůži to počítat stejně, protože to jsou rovnice o 3 neznámých , takže : x + y + z = 0
stejně tak je i 4)  4 neznámý a já z toho potřebuju sesmolit rovnici kterou spočítám :-D

Hele, mám spočítanej příklad, jinej než sem tady uvedla :

Zadání je :

b = (1, -4, 7)
a1 = ( 5, -2, 1)
a2 = ( 3, -3, 4)

udělala sem z toho lin. rovnici, spočítala sem první dvě rovnice a třetí dopočítala a výsledky jsou : ( -1, 2, 1) a jak z toho mám poznat jestli je to závislá nebo nezávislá ?