Matematické Fórum

martanko · 02. 03. 2010 15:32

skusku z pravdepodobnosti mam uz urobenu (pred viac ako mesiacom) no stale ma trapi jeden priklad ktory tam bol.

Majme rovnicu $ax^3+bx^2+x=0$ kde a, b volime nahodne z mnoziny $|a| \leq 2$ , $|b| \leq 2$ . Aka je pravdepodobnost, ze rovnica ma najviac jeden realny koren?

musixx · 02. 03. 2010 15:47 — Editoval musixx (02. 03. 2010 15:49)

Nula je vždy kořen, tedy se stačí podívat na zbylou kvadratickou rovnici, resp. její diskriminant. A stačí si do čtverce [-2,2]x[-2,2] nakreslit hraniční křivku pro $b^2<4a$ a spočítat jeden obsah.

martanko · 02. 03. 2010 16:03

↑ musixx:
hm no tak ja som to robil podobne ze som si dosadil nieco za a, no a potom zaviselo od b ci to ma riesenie...lenze takych moznosti som si norobil velmi vela ze kedy vyhovuje ta nerovnost a pri skusme mi povedal ze keby som to takto vypisoval tak do konca zivota by som to nevypocital lebo je tam nekonecne vela takych moznosti.. ked je a = 0 tak to je len jedna moznost, co v pripade ked a sa nerovna nule?

Rumburak

Jedním z kořenů rovnice $ax^3+bx^2+x=0$ je vždy 0 , dalšími jejími kořeny jsou pak kořeny rovnice $ax^2+bx+1=0$ .
Takže prvá rovnice má nejvýše jeden reálný kořen (a sice kořen 0) právě tehdy, když druhá rovnice nemá žádný nenulový reálný kořen ,
což nastává v případech

A) $ax^2+bx+1=0$ je kvadratická rovnice se záporným diskriminantem, tedy $a \ne 0$ a
zároveň se splněním podmínky

(1) $b^2 - 4a < 0$ .

B) $a = b = 0$ .

Za jistý považujeme jev, kdy $-2 \le a \le 2$ a zároveň $-2 \le b \le 2$ . Tyto uspořádané dvojice $[a, b]$ vyplní v kartézké soustavě souřadnic
jistý čtverec C o straně délky 4 a tedy plošného obsahu c =16.
Ty z nich, které splňují podmínku (1) , vyplňují jistou množinu M, které je částí čtverce C a má plošný obsah m.

Předpokládáme-li, že náhoda při volbě čísel a, b podléhá rovnoměrnému rozdělení pravděpodobnosti,
pak případy, kdy a = 0, lze zanedbat , neboť odpovídající množiny mají nulovou dvourozměrnou míru.

Pravděpodobnost zkoumaného jevu pak bude $m/c = m/16$ .
Číslo m snadno spočítáme metodami integrálního počtu funkcí jedné proměnné.

martanko · 02. 03. 2010 16:16

↑ Rumburak:
integralom myslis integral z tej kubickej rovnice?

Rumburak

↑ martanko:

Zakresli si do čtverce $-2 \le x \le 2$ , $-2 \le y \le 2$ část paraboly o rovnici $y^2 = 4x$ . Ta roztína ten čtverec na dvě části.
V jedné z nich je $y^2 > 4x$ - ta nás nezájímá , ve druhé je $y^2 < 4x$ a to je ta část, jejíž obsah nás zajímá a označili jsme ho m.

Pokud znáš (nebo máš znát) dvojný integrál, pak to jde touto metodou, ale jde to i pomocí jednorozměrného integrálu.
Když si to nakreslíš a spočítáš průsečíky paraboly $y^2 = 4x$ s hranicí čtverce, pochopíš, jak integraci provést (tedy pakliže
znáš příslušnou látku).