Matematické Fórum

Obi · 03. 03. 2010 11:42

Dobrý den. Nevím si rady s tímto příkladem. Prosím o pomoc. Děkuji

$a_n-a_{n+k}=e$

Výsledekm má být rekurentní zápis, tedy ve tvaru. $a_{n+1}=q\cdot a_n$

kaja(z_hajovny) · 03. 03. 2010 11:45

Nedava mi to smysl. Co presne je zadanim? Maji se najit vsechny posloupnosti, ktere splnuji
$a_n-a_{n+k}=e$ ? obavam se, ze geometricke posloupnosti tohle nesplnuji.

Zkuste zadani prosim napsat poradne, dekuji.

Obi · 03. 03. 2010 11:50 — Editoval Obi (03. 03. 2010 11:51)

Tohle jsem dostal: $a_n-a_{n+k}=e$ Jediné co bych si mohl zapsat špatně je to "k", takže by to mohlo vypadat takhle: $a_n-a_n+k=e$
Zadání: Geometrická posloupnost. Určete rekurentní předpis.

kaja(z_hajovny) · 03. 03. 2010 12:40

$a_n-a_{n+k}=e$ je linearni diferencni rovnice k-teho radu. Reseni bude obsahovat k integracnich konstant. To zadani je dost strohe, asi vytrzene z kontextu. Co treba dat sem oscanovanou stranku z ucebnice s celym zadanim?

Obi · 03. 03. 2010 12:46

Víc zadáno opravdu nebylo. Takhle byl napsán na tabuli, nic víc k tomu nebylo. Jsem z toho právě taky zmatený, proto se ptám tady.

kaja(z_hajovny) · 03. 03. 2010 12:56

Mozna se k tomu neco reklo ustne, co jste preslechl. Asi bude nejlepsi se zeptat prednasejiciho. Mozna bylo ukolem najit vsechny geometricke posloupnosti ktere tohle splnuji a provest diskuzi vzhledem k parametru e, mozna se melo delat neco jineho....

Taky by pomohlo, kdybyste napsal, jestli treba probirate ty diferencni (rekuretnni) rovnice apod.

Obi · 03. 03. 2010 13:03

Určitě jsem nic nepřeslechl neboť tento příklad byl zadán konkrétně jen pro mě. Takže jsem přirozeně dával pozor. Co se týče probíráné látky, tak je to Aritmetická a Geometrická posloupnost. Zadány byly čtyři příklady čtyřem lidem a tento má být ten těžší.

jarrro · 03. 03. 2010 19:07

ak by tam išlo o geometrickú postupnosť tak by muslo platiť $a_n-a_nq^k=e\nla_n\left(1-q^k\right)=e\nla_n=\frac{e}{1-q^k}$ teda by išlo o konštantnú postupnosť tá má ale kvocient $q=1$ čiže spor jediná záchrana je že $e=0$ potom by to splňovala každá konštantná postupnosť a v prípade párneho k aj postupnosť $a,-a,a,\cdots$ toto je ale len hlasné rozmýšľanie

Obi · 05. 03. 2010 16:08

Má ještě někdo nějaký nápad?

Pavel · 05. 03. 2010 17:47

$a_n-a_{n+k}=e\nl a_n-a_{n+k+1}=e$

Obě rovnice od sebe odečtu

$a_{n+k+1}-a_{n+k}=0\qquad\Rightarrow\qquad a_{n+k}=a_{n+k+1}\quad\forall k,n\in\mathbb N$ . Pro každou dvojici sousedních členů platí, že oba členy jsou stejné. Jedná se tedy o konstantní posloupnost. $a_n=c$ . Jiná možnost není.

Obi · 06. 03. 2010 19:28

Děkuju za pomoc. A co ten rekurentní zápis? Jde to nějak udělat?

Pavel · 06. 03. 2010 20:13

↑ Obi:

$a_{n+1}=1\cdot a_n$

Kondr · 06. 03. 2010 21:34

Obi napsal(a):
$a_n-a_{n+k}=e$ Zadání: Geometrická posloupnost. Určete rekurentní předpis.

Považuji za konvenci, že e je základ přirozeného logaritmu. Pak vznikají dvě otázky:
1) má to platit pro všechna přirozená n, nebo má jedno takové existovat?
2) má to platit pro všechna přirozená k, nebo má jedno takové existovat?
Možné odpovědi:
všechna-všechna: posloupnost neexistuje
všechna-exituje: posloupnost neexistuje
existuje-všechna: posloupnost neexistuje
existuje-existuje: posloupnost hledejme ve tvaru $a_n=p\cdot q^n$ . Máme $p\cdot q^n(1-q^k)=e$ , vyhoví posloupnosti dané předpisem
$a_1=e/(q^{n-1}(1-q^k))$ , $a_{n+1}=qa_n$ .

Pokud od konvence, že e je základ ln, upustíme, změní se první tři odpovědi na "e=0, posloupnost je dána vztahem $a_1=t$ , $a_{n+1}=1a_n$ ".

No a další spousta výsledků se nabízí, pokud je v zadání chyba.

Obi · 11. 03. 2010 11:27

Tak nakonec se ukázalo, že mi bylo opravdu zadáno špatné zadání. Tak jsem dostal nové, které mi ovšem taky příliš neříká. Prosím tedy o pomoc.
Určete rekurentní předpis geometrické posloupnosti těchto vlastností:
$\frac{a_n}{a_{n+k}}=l$

musixx · 11. 03. 2010 11:43

↑ Obi: Označ si kvocient hledané geometrické posloupnosti jako q, pak vyjádři $a_{n+k}$ pomocí $a_n$ a $q$ , pak se $a_n$ zkrátí a zůstane nějaká rovnice, kde budou vystupovat $k$ , $l$ a $q$ . Vypočti z ní $q$ , proveď diskuzi k počtu řešení v závislosti na parametrech $k$ a $l$ a zdůvodni, jaké může být $a_1$ (kdy může být nulové).

Obi · 13. 03. 2010 17:42

Mohl bys mi napsat jen začátek? Nevím přesně jak to myslíš. Děkuji.

jelena · 13. 03. 2010 19:48

↑ Obi:

myslím si, že kolega ↑ musixx: myslel toto:

q - kvocient hledané geometrické posloupnosti,

$a_{n+k}=a_n\cdot q^{\ldots}$ , coz se dosadi do: $\frac{a_n}{a_{n+k}}=l$ a po úpravě výsledku se provede diskuse dle doporučení kolegy.

Obi · 14. 03. 2010 13:34 — Editoval Obi (14. 03. 2010 13:35)

Buďte se mnou prosím trpěliví... Když za $a_{n+k}$ dosadím $a_n\cdot q^{\ldots}$ , tak mi zbyde jen $\frac{1}{q}=l$ Je to tak? A teď dál jak?

jarrro · 14. 03. 2010 13:40

$\frac{a_n}{a_{n+k}}=l\nl\frac{a_n}{a_n\cdot q^k}=l\nlq^k=\frac{1}{l}\nlq=\sqrt[k]{\frac{1}{l}}$

Obi · 14. 03. 2010 13:59

Aha, vynechal jsem to "k". A teď tedy příjde diskuze vůči $a_1$ ? a z něho určím ten rekurentní zápis?

Kondr · 14. 03. 2010 16:29

No rekurentní zápis je u geometrické posloupnosti vždy $a_{n+1}=q\cdot a_n$ , q už známe.

Zbývá jen říct, pro která k může být l záporné a zda může být $a_1$ nulové.

Obi · 14. 03. 2010 16:42

Pro která k může být l záporné? Snad pro žádné, ne? A $a_1$ taky nemůže být nulové. Nebo se totálně pletu? Tahle část matematiky opravdu není moje silná stránka.

Kondr · 14. 03. 2010 17:59

↑ Obi:Myslím, že pro lichá k by l záporné být mohlo. Nebo jste si definovali geometrickou posloupnost pouze pro q>0?

Jinak se shodneme, že $a_1$ může být libovolné nenulové číslo.

Obi · 14. 03. 2010 18:25

↑ Kondr: Definice pro q>0 žádná nebyla. Když může být $a_1$ libovolné nenulové číslo, mohu to zapsat takto $R\backslash\{ 0 \}$ ? A pak tedy rekurentní zápis jako $a_{n+1}={\sqrt[k]{\frac{1}{l}}\cdot R\backslash\{ 0 \}$ ?

Matematické Fórum

#1 03. 03. 2010 11:42

Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#2 03. 03. 2010 11:45

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#3 03. 03. 2010 11:50 — Editoval Obi (03. 03. 2010 11:51)

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#4 03. 03. 2010 12:40

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#5 03. 03. 2010 12:46

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#6 03. 03. 2010 12:56

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#7 03. 03. 2010 13:03

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#8 03. 03. 2010 19:07

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#9 05. 03. 2010 16:08

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#10 05. 03. 2010 17:47

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#11 06. 03. 2010 19:28

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#12 06. 03. 2010 20:13

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#13 06. 03. 2010 21:34

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

Obi napsal(a):

#14 11. 03. 2010 11:27

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#15 11. 03. 2010 11:43

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#16 13. 03. 2010 17:42

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#17 13. 03. 2010 19:48

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#18 14. 03. 2010 13:34 — Editoval Obi (14. 03. 2010 13:35)

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#19 14. 03. 2010 13:40

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#20 14. 03. 2010 13:59

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#21 14. 03. 2010 16:29

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#22 14. 03. 2010 16:42

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#23 14. 03. 2010 17:59

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

#24 14. 03. 2010 18:25

Re: Rekurentní předpis geometrické posloupnosti

Zápatí