Matematické Fórum

ahiova · 04. 03. 2010 21:37

nejako si s tým neviem poradiť.

kaja(z_hajovny) · 04. 03. 2010 21:47

rozklad na parcialni zlomky
$=\int \frac{A}{x-\sqrt{10}}+\frac{B}{(x-\sqrt{10})^2}+\frac{C}{(x-\sqrt{10})^3}+\frac{D}{x+\sqrt{10}}+\frac{E}{(x+\sqrt{10})^2}+\frac{F}{(x+\sqrt{10})^3}dx$

ahiova · 04. 03. 2010 21:49

njay vzorec na to nieje? lebo toto vyzera na riaden rozpis

Marian · 05. 03. 2010 09:13 — Editoval Marian (05. 03. 2010 09:15)

↑ ahiova:↑ kaja(z_hajovny):

Jednou z možností, jak obejít v tomto případě (!) rozklad na parciální zlomky, je metoda per partes. Budu obecně počítat integrál tvaru
$I_k:=\int\frac{1}{(x^2-a^2)^k}\,\mathrm{d}x,\qquad\qquad k\in\mathbb{N},\; a\neq 0,\; x\neq\pm a.$

(1) Pro $a=0$ je totiž situace zřejmá - stačí počítat podle základních vzorců (dokonce i hodnota k by mohla v tomto snadném případě být obecnější). Předpokládejme v dalším tedy, že a>0.

(2) Pro $k=1$ integrujeme funkci $1/(x^2-a^2)$ , což lze zařídit snadno, neboť platí jistě

$\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{a}{2}\cdot\left (\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right ),\qquad x\neq\pm a.$

Proto

(Položil jsem integrační konstantu rovnu nule.)

(3) Předpokládejme nyní, že platí $k>1$ . Potom metodou per partes dostáváme pro integrál $I_{k-1}$

Odtud porovnáním zarámovaných částí dostaneme rovnici ...

Tímto jsme dostali redukční formuli pro integrály $I_k$ , $k>1$ .

(4 - aplikace) Máme spočítat

$I_3=\int\frac{1}{(x^2-10)^3}\,\mathrm{d}x.$

Je tedy především $k=3$ a $a^2=10$ . Podle redukčního vzorce platí pro integrál $I_3$ toto

Nyní stačí dosadit $a^2=10$ , $a^4=100$ a za integrál $I_1$ integrál spočítaný v bodě (2), kde je zapotřebí ještě číslo a, tj. $a=\sqrt{10}$ . Odtud pak konečně výsledek

$\huge{\boxed{\int\frac{1}{(x^2-10)^3}\,\mathrm{d}x=\frac{-x}{40(x^2-10)^2}+\frac{3x}{800(x^2-10)}-\frac{3\sqrt{10}}{1600}\cdot\ln\left |\frac{x-\sqrt{10}}{x+\sqrt{10}}\right |+C.}}$