Matematické Fórum

gsdv · 05. 03. 2010 20:01

Ahoj mám tady příklad z goniometrie kde netuším jak počítat:

Mám zpaměti zjistit v obloukové míře všechna x vyhovující rovnici sinx=a kde a=(0;1;-1;1/2;-1/2;1/2odmocnina ze2;-1/2odmocnina ze2;1/2 odmocnina ze3;-1/2 odmocnina ze3;odmocnina ze 3;-2)

Pomůže někdo??

jelena · 05. 03. 2010 20:17

↑ gsdv:

Zdravím,
nejdřív si to do paměti ulož, pak to z pamětí zjistiš (dokud bude sloužit paměť).

Doxxik · 05. 03. 2010 20:23

přepis:

pro která x (náležící R) platí:
$sin x = a; a \in {\{0; 1; -1; \frac12; -\frac12; \frac{1}{\sqrt2}; -\frac{1}{\sqrt2}; \frac12 \cdot \sqrt3; - \frac12 \cdot \sqrt3;\frac{\sqrt3}{-2}\}}$

co konkrétně Ti není jasné?

Postupoval bych asi takhle:
Asi jste se už učili (z paměti) hodnoty $sin \alpha$ pro určité úhly (patrně jste si kreslili tabulku, do které jste zanášeli hodnoty pro $\alpha = 30^\circ = \frac{\pi}{6}; \alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}; ...$ . Tuto tabulku nejdeš rovněž třeba v Matematicko-fyzikálních tabulkách.)

U prvního případu bys postupoval následovně:
$sin x = 0$ -> kdy se sinus rovná nule? v $0+k\pi$ -> $x = k\pi$

problém nastane v případě, že máš před hodnotami $a$ jiné znaménko, než je tomu v tabulce. K tomu využiješ jiné znalosti, a sice toho, že víš, na kterém intervalu je fce sinus kladná a na kterém je záporná na (kladná $(0; \pi)$ , záporná na $(\pi; 2\pi)$

příklad:
$sin x = -\frac12$ -> nejprve si zjistím hodnotu bez záporného znaménka -> kdy je $sin x = \frac12$ ? -> v $x_1' = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ a v $x_2' = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ .
-> protože ale znaménko mínus posune z 1. do 3. a z 2. do 4. kvadrantu, (a oba tyto posuny jsou přes dva kvadranty, tedy o $\pi$ ) přičtu ke každému kořenu $\pi$ :
$x_1 = x_1' + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$
$x_2 = x_2' + \pi = \frac{3\pi}{4} + \pi + 2k\pi = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$

snad :)

gsdv · 05. 03. 2010 21:13

Díky za podrobný postup ale pořád mě není jasný u toho sinx=0 ->0+k.pí co to vlastně je to k a jak ho zjistím

Doxxik · 05. 03. 2010 21:23

to k je nějaká nezávisle proměnná náležící celým číslům a vyjadřuje periodu -> ať za k dosadíš jakékoli číslo (z oboru, kterému náleží), bude výsledek vždy srávný

jak ji spočítat? nijak. spočítáš si, jaké řešení je v první periodě (tedy na intervalu, než se fce začne opakovat - pro sinus je to $2\pi$ ) a k výsledku připočteš k krát periodu -> $k2\pi = 2k\pi$

(třeba fce tg má periodu $\pi$ , proto budeš připočítávat pouze $k\pi$

Ivana · 05. 03. 2010 21:29

↑ Doxxik:

Může se říct, že hodnota $k$ nám říká , kolikrát bod oběhne po jednotkové kružnici ?

Doxxik · 05. 03. 2010 22:15

↑ Ivana:
vzhledem k tomu, že $k$ se nachází i ve případech, ve kterých je perioda jiná, než je právě jeden oběh kruhu, nepovažuji tuto formulaci za šťastnou (samozřejmě obecně - pro fci s periodou $2\pi$ , kterou fce $sin$ je, je výrok, myslím, pravdivý..)

gsdv · 05. 03. 2010 23:00

Díky moc všem! Už mám docela tušení jak počítat

gsdv · 06. 03. 2010 12:49

Ahoj tak jsem si myslela že už to chápu ale asi moc ne: u toho prvního příkladu když sinx=0 proč je řešením x=k.pí a ne x=2k.pí ?↑

A pak ještě u příkladu od Doxxik: sinx=1/2 jak poznám to druhý řešení x2=3.pí/4 + 2k.pí když ty 3.pí/4 v tabulce nejsou to si musím namalovat jednotkovou kružnici a odsud to zjistit nebo je na to něco jednoduššího?

Ivana · 06. 03. 2010 16:22

↑ gsdv: ...0+kpí u funkce sinus se řešilo tady :

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=15064

Ivana · 06. 03. 2010 16:26 — Editoval Ivana (06. 03. 2010 16:37)

gsdv napsal(a):
A pak ještě u příkladu od Doxxik[/re] sinx=1/2 jak poznám to druhý řešení x2=3.pí/4 + 2k.pí když ty 3.pí/4 v tabulce nejsou to si musím namalovat jednotkovou kružnici a odsud to zjistit nebo je na to něco jednoduššího?

Hodnoty pro sinx = 1/2 vyčteš z grafu funkce sinus.

Ivana · 06. 03. 2010 16:43

↑ Doxxik: Zdravím :-) , pročítám si tvůj příspěvek a vidím chybu , spíše přehmat v příspěvku 3:

$sinx=0,5$ má být výsledek pro x

$x_1' = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ a
$x_2' = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$

Dana1 · 09. 03. 2011 07:18 — Editoval Dana1 (09. 03. 2011 07:20)

Všetko sú to hodnoty, ktoré sú pre prvý kvadrant známe. Treba urobiť úvahu pre znamienka (vybrať ďalšie kvadranty) a úlohu dopočítať.

Odkaz od Jeleny, odkaz na trigonometriu + Odkaz.

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2010 20:01

goniometrické funkce

#2 05. 03. 2010 20:17

Re: goniometrické funkce

#3 05. 03. 2010 20:23

Re: goniometrické funkce

#4 05. 03. 2010 21:13

Re: goniometrické funkce

#5 05. 03. 2010 21:23

Re: goniometrické funkce

#6 05. 03. 2010 21:29

Re: goniometrické funkce

#7 05. 03. 2010 22:15

Re: goniometrické funkce

#8 05. 03. 2010 23:00

Re: goniometrické funkce

#9 06. 03. 2010 12:49

Re: goniometrické funkce

#10 06. 03. 2010 16:22

Re: goniometrické funkce

#11 06. 03. 2010 16:26 — Editoval Ivana (06. 03. 2010 16:37)

Re: goniometrické funkce

gsdv napsal(a):

#12 06. 03. 2010 16:43

Re: goniometrické funkce

#13 09. 03. 2011 07:18 — Editoval Dana1 (09. 03. 2011 07:20)

Re: goniometrické funkce

Zápatí