Matematické Fórum

houfn · 04. 03. 2010 21:34 — Editoval houfn (04. 03. 2010 21:35)

Zdravim. Věděl by si s tímhle někdo rady?

Děkuji předem všem.

zdenek1 · 04. 03. 2010 21:57

↑ houfn:
$\left(\frac{41}{12}\right)^2$

houfn · 04. 03. 2010 22:11

↑ zdenek1:

Výsledek taky vím :D. Já potřebuji spíše postup.

zdenek1 · 04. 03. 2010 22:51

↑ houfn:
Pročti si toto

Cheop · 05. 03. 2010 07:22

↑ zdenek1:
A nemohlo by to číslo být i toto ?
$x=\left(\frac{sqrt{29}}{2}\right)^2$

zdenek1

↑ Cheop:
Samozřejmě mohlo. To zadání, které uvedl ↑ houfn: není úplně totožné s originálem. Oni tehdá chtěli čtverec racionálního čísla.

mathema · 05. 03. 2010 12:13

↑ zdenek1:

A jak teda bude postup k tomu výsledku. Z té anglické stránky jsme moc nepobral. Díky

musixx · 05. 03. 2010 12:23 — Editoval musixx (05. 03. 2010 12:56)

↑ Cheop: Kdybychom připustili i iracionální čísla, pak je vlastně téměř vše řešení: $x=(\sqrt x)^2\ \longrightarrow\ (\sqrt x)^2+5=x+5\ \longrightarrow\ (\sqrt{x+5})^2$ a pojem "býti čtvercem" poněkud ztrácí svůj význam.

EDIT: Tady se obecně dotýkáme poměrně pokročilého aparátu binárních kvadratických forem v teorii čísel. Řešením totiž je takové $\left(\frac ab\right)^2$ , kde $a^2+5b^2$ je čtverec. Pro zájemce třeba text zde.

mathema

↑ musixx:

No a k tomu 41/12 nadruhou dojdu jak?-

xnadruhou · 05. 03. 2010 19:18

↑ mathema:

Mohl by mi prosím někdo vysvětlit tuto úlohu, jak se dojde k výsledku a proč. Nechápu jí
Když například vezmu číslo 25 na druhou, přičtu 5, tak vyjde 630 a to je 3×odmocnina ze 70. Pak uberu pět a vyjde taky něc.
Já to spíš chápu, že řešení je mnoho. Díky za vysvětlení a řešení

Pavel Brožek · 05. 03. 2010 21:59

↑ xnadruhou:

V reálných číslech je řešení nekonečně mnoho. To ale není příliš zajímavé, proto zdenek1 upozorňuje, že zadání není originální - v originálu se řeší v racionálních číslech.

xnadruhou

↑ BrozekP:
No a jak a proč dojdu k tomu výsledku 41/12 nadruhou

Pavel Brožek · 05. 03. 2010 22:33

↑ xnadruhou:

No, to já nevím, nezkoušel jsem to řešit. Snad někdo napíše řešení nebo na nějaké odkáže.

↑ zdenek1:

Odkaz hlásí dočasnou nedostupnost, tak snad to bude opravdu jen dočasné.

xnadruhou · 06. 03. 2010 11:06

↑ BrozekP:
.

jarrro · 06. 03. 2010 11:34 — Editoval jarrro (06. 03. 2010 11:35)

toto som vyčítal z knihy B.A.KORDEMSKIJ:HRY HLAVOLAMY TRIKY
nech to hľadané racionálne číslo je $\frac{x^2}{y^2}$ a číslo r treba pripočítať a odpočítať
potom $\frac{x^2}{y^2}+r=\frac{x^2+ry^2}{y^2}\nl\frac{x^2}{y^2}-r=\frac{x^2-ry^2}{y^2}$
podľa zadania musia byť menovatele druhé mocniny teda
$x^2+ry^2=\left(x+a\right)^2\nlx^2-ry^2=\left(x-b\right)^2$
sčítaním posledných rovností máme
$x=\frac{a^2+b^2}{2\left(b-a\right)}$
dosadením a po úprave máme
$a\cdot\frac{a+b}{2}\cdot b=\frac{b-a}{2}\cdot r\cdot y^2$
môžme zvoliť ľubovoľne a aj b b>a
ak uvážime,že čísla $a,\frac{a+b}{2},b$ tvoria aritmetickú postupnosť tak
môžme písať
$\left(n-1\right)n\left(n+1\right)=ry^2\nlx=\frac{n^2+1}{2}$
pre n=9 dostaneme r=5 a $\frac{x^2}{y^2}=\left(\frac{41}{12}\right)^2$

xnadruhou

↑ jarrro:

Jj díky moc, ale nechápu proč do úlohy nenapíšou řešte v oboru Q. Dyt tohle zadání můžu řešit i v oboru R a to má nekonečně mnoho řešení ne?

jarrro · 06. 03. 2010 11:46 — Editoval jarrro (06. 03. 2010 12:10)

↑ xnadruhou:hej v R to má nekoenčne veľa riešení každé kladné reálne číslo je dobré
aj pri racionálnych to má nekonečne veľa riešení lebo ak nájdeme jedno tak čísla $\frac{x^2}{y^2}-r,\frac{x^2}{y^2},\frac{x^2}{y^2}+r$
tvoria aritmetickú postupnosť s diferenciou r teda podľa postupu platí
$y=\frac{\sqrt{x_0^2-ry_0^2}\cdot\sqrt{x_0^2}\cdot\sqrt{x_0^2+ry_0^2}}{ry_0^3}$ kde x_0 je predošlé x a y_0 je predošlé y
a nové x je $x=\frac{\left(\frac{x_0^2}{y^2_0}-r\right)^2+\left(\frac{x_0^2}{y_0^2}+r\right)^2}{4r}$
takto sa dá postupovať do nekonečna,ale už pri tretej iterácii vychádzajú astronomické čísla

houfn · 06. 03. 2010 18:26 — Editoval houfn (06. 03. 2010 18:27)

JJ, akorát nechápu kde si z tohodle: $\frac{x^2}{y^2}+r=\frac{x^2+ry^2}{y^2}\nl\frac{x^2}{y^2}-r=\frac{x^2-ry^2}{y^2}$
vzal ty členy "a" a "b" $x^2+ry^2=\left(x+a\right)^2\nlx^2-ry^2=\left(x-b\right)^2$

jarrro · 06. 03. 2010 18:57

tak aby to bola druhá mocnina tak musí aj čitateľ aj menovateľ byť druhá mocnina nejakého čísla a to číslo je v prípade pripočítania r o niečo väčšie ako x a v prípade odčítania o niečo iné menšie niečo sa nazvalo a a niečo iné b

houfn · 08. 03. 2010 22:03

↑ jarrro:
jj už chápu, a jak jsme přišli u tohodle na to, že n = 9
$\left(n-1\right)n\left(n+1\right)=ry^2\nlx=\frac{n^2+1}{2}$
a jak vypočtu ještě y aby mi vyšlo 12.

jelena · 08. 03. 2010 23:47

↑ houfn:

nevím, jak na to přišel kolega ↑ jarrro:, asi zkoušel trojice po sobě jdoucích čísel a hledal takovou první trojici, která je dělitelná 5 (jelikož r=5) a zároveň je druhou mocninou přirozeného čísla. Což je splněno u 8*9*10.

Jak je z toho y, to je asi jasné. Kolega to případně opraví, pokud nemám pravdu.

Odkud je úloha? Děkuji.

....

houfn · 09. 03. 2010 18:19

↑ jelena:

Tuto úlohu jsme našel na: http://mfweb.wz.cz/ulohy/58.htm

houfn · 09. 03. 2010 20:26

no, takže jsme našli tuhle trojci:
8*9*10 a jak poznám z toho to n = 9.
A jestli jsem dobře pochopil, tak y = 8*9*10 = 144, sqr(144) = 12. Je tomu tak??

Chrpa · 09. 03. 2010 20:29

↑ houfn:
n = 9 je to proto, že je to prostřední člen té posloupnosti

Matematické Fórum

#1 04. 03. 2010 21:34 — Editoval houfn (04. 03. 2010 21:35)

Slovní úloha

#2 04. 03. 2010 21:57

Re: Slovní úloha

#3 04. 03. 2010 22:11

Re: Slovní úloha

#4 04. 03. 2010 22:51

Re: Slovní úloha

#5 05. 03. 2010 07:22

Re: Slovní úloha

#6 05. 03. 2010 09:39 — Editoval zdenek1 (05. 03. 2010 09:40)

Re: Slovní úloha

#7 05. 03. 2010 12:13

Re: Slovní úloha

#8 05. 03. 2010 12:23 — Editoval musixx (05. 03. 2010 12:56)

Re: Slovní úloha

#9 05. 03. 2010 12:54 — Editoval mathema (05. 03. 2010 15:15)

Re: Slovní úloha

#10 05. 03. 2010 19:18

Re: Slovní úloha

#11 05. 03. 2010 21:59

Re: Slovní úloha

#12 05. 03. 2010 22:04 — Editoval xnadruhou (05. 03. 2010 22:04)

Re: Slovní úloha

#13 05. 03. 2010 22:33

Re: Slovní úloha

#14 06. 03. 2010 11:06

Re: Slovní úloha

#15 06. 03. 2010 11:34 — Editoval jarrro (06. 03. 2010 11:35)

Re: Slovní úloha

#16 06. 03. 2010 11:39 — Editoval xnadruhou (06. 03. 2010 11:40)

Re: Slovní úloha

#17 06. 03. 2010 11:46 — Editoval jarrro (06. 03. 2010 12:10)

Re: Slovní úloha

#18 06. 03. 2010 18:26 — Editoval houfn (06. 03. 2010 18:27)

Re: Slovní úloha

#19 06. 03. 2010 18:57

Re: Slovní úloha

#20 08. 03. 2010 22:03

Re: Slovní úloha

#21 08. 03. 2010 23:47

Re: Slovní úloha

#22 09. 03. 2010 18:19

Re: Slovní úloha

#23 09. 03. 2010 20:26

Re: Slovní úloha

#24 09. 03. 2010 20:29

Re: Slovní úloha

Zápatí