Matematické Fórum

byk7 · 07. 03. 2010 12:39

Dobré odpoledne,
mám rozhodnout, zda existuje kosočtverec,
jehož obvod je 4m,
úhlopříčka měří 1,4m
a svírá s jednou jeho stranou úhel $\frac{\pi}{6}rad$ .

Moje řešení:

$o=4a=4m \rightarrow a=1m \nl u=1,4m$
$(a+x)^2+v^2=u^2 \nl (x+1)^2+v^2=1,4^2 \nl x^2+2x+1+v^2=1,96 \nl v^2=1,96-x^2-2x-1 \nl v^2=-x^2-2x+0,96 \nl v=\sqrt{-x^2-2x+0,96}$
$(x+1)^2+\left(\sqrt{-x^2-2x+0,96}\right)^2=1,96 \nl (x^2+2x+1)+(-x^2-2x+0,96)=1,96 \nl 1,96=1,96$

Prosím, co mám odvodit z tohoto závěru?
Díky

Ivana · 07. 03. 2010 13:07

↑ byk7: Možná by bylo dobré si uvědomit, jaké vlastnosti má kosočtverec.
1. Úhlopříčky kosočtverce jsou na sebe kolmé.
2. Úhlopříčky kosočtverce nejsou stejně dlouhé.
3. Úhlopříčky kosočtverce jsou zároveň osami úhlů.

Potom bych se snažila pomocí Ph.věty , nebo trigonometrickými vztahy v pravoúhlém trojúhelníku ( kosočtverec se skládá ze 4 pravoúhlých trojúhelníků )
dokázat, že tyto podmínky platí.

byk7 · 07. 03. 2010 13:11

Díky

byk7 · 07. 03. 2010 13:48 — Editoval byk7 (07. 03. 2010 14:20)

↑ Ivana:

druhá úhlopříčka:
$\left({\frac{u^'}{2}}\right)^2=a^2-\left({\frac{u}{2}}\right)^2 \nl \left({\frac{u'}{2}}\right)^2=1^2-\left({\frac{1,4}{2}}\right)^2 \nl \left({\frac{u'}{2}}\right)^2=\frac{\sqrt{51}}{10} \nl \frac{(u')^2}{4}=\frac{\sqrt{51}}{10} \nl (u')^2=\frac{2}{5}\sqrt{51} \nl u'=\sqrt{\frac{2}{5}}\cdot\sqrt[4]{51}\approx1,69$

Mě to přijde až moc škaredé, mám to správně?

EDIT: anebo:
$y=\frac{u'}{2} \nl y^2=a^2-\left({\frac{u}{2}}\right)^2 \nl y^2=1^2-\left({\frac{1,4}{2}}\right)^2 \nl y^2=\frac{\sqrt{51}}{10} \nl y=\sqrt{\frac{\sqrt{51}}{10}}=\frac{\sqrt[4]{51}\cdot\sqrt{10}}{10} \nl \frac{u'}{2}=\frac{\sqrt[4]{51}\cdot\sqrt{10}}{10} \nl u'=\frac{\sqrt[4]{51}\cdot\sqrt{10}}{5}$

EDIT2: tak teď jsem si všiml, že jsem došel ke stejnému výsledku.

Ivana · 07. 03. 2010 14:10

↑ byk7: Nemáš to dobře , pracuji na tom , za chvilku pošlu postup :-)

Ivana · 07. 03. 2010 14:20

↑ byk7:

gadgetka · 07. 03. 2010 16:36

Jen dotaz, proč vypočítáváte druhou úhlopříčku? Vycházím z toho, že se má zjistit, jestli existuje kosočtverec daných vlastností, takže bych jen ověřila, zda je možnost, aby jeho strana měla délku 1 m. Znám délku úhlopříčky, ale podle zadání zřejmě není jisté, která to z těch úhlopříček je, pokud teda nebyl v zadání rovnou i ten náčrtek. Vyšla bych z vlastností úhlopříček v kosočtverci, viz výše plus bych doplnila, že se úhlopříčky vzájemně půlí a jsou osami úhlů, vzala bych si v potaz jeden z pravoúhlých trojúhelníků, u kterého znám úhel a stranu a dopočítala bych stranu a. Stejně bych postupovala i při předpokladu, že uvedená délka se vztahuje na druhou úhlopříčku. Ani v jednom případě, mám pocit, nevyjde, že délka strany je rovna 1 m, čili kosočtverec daných vlastností neexistuje.

byk7 · 07. 03. 2010 17:27

↑ Ivana:

z čeho vzniklo, že $v=a\cdot\sin\alpha$ ?
ale i tak $u_1=1,4m$ a ve výpočtu je $u_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\neq\frac75$

Ivana · 07. 03. 2010 17:34 — Editoval Ivana (07. 03. 2010 17:34)

↑ byk7:Tenhle vzorec jsem našla v tabulkách pro ZŠ $v=a\cdot\sin\alpha$

↑ gadgetka:

Jak může neexistovat, když konstrukcí vidím , že kosočtverec se dá sestrojit a výsledky vychází i graficky. Dokonce jsem si kosočtverec složila i z papíru .
Měřítko : (1cm odpovídá 1m )

byk7 · 07. 03. 2010 21:38

↑ Ivana:

Ivana napsal(a):
Jak může neexistovat, když konstrukcí vidím, že kosočtverec se dá sestrojit a výsledky vychází i graficky.

No, ale v zadání je, že $u_1=1,4m$ a ne $\frac{\sqrt3}{2}$ .

Ivana · 07. 03. 2010 22:31

↑ byk7:Tak to je potom něco jiného, to jsem špatně četla zadání :-( .
Pak má pravdu ↑ gadgetka:.

gadgetka · 07. 03. 2010 23:33

Aspoň taky někdy ... ;)
Přeji všem krásnou dobrou noc.

byk7 · 14. 03. 2010 12:33 — Editoval byk7 (14. 03. 2010 12:33)

↑ Ivana:

Ještě jsem se chtěl zeptat, platí $v=a\cdot\sin\alpha=a\cdot\sin\beta$ ?
Díky

Ivana · 14. 03. 2010 19:43

↑ byk7: Tak se na to podívejme :

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2010 12:39

Kosočtverec

#2 07. 03. 2010 13:07

Re: Kosočtverec

#3 07. 03. 2010 13:11

Re: Kosočtverec

#4 07. 03. 2010 13:48 — Editoval byk7 (07. 03. 2010 14:20)

Re: Kosočtverec

#5 07. 03. 2010 14:10

Re: Kosočtverec

#6 07. 03. 2010 14:20

Re: Kosočtverec

#7 07. 03. 2010 16:36

Re: Kosočtverec

#8 07. 03. 2010 17:27

Re: Kosočtverec

#9 07. 03. 2010 17:34 — Editoval Ivana (07. 03. 2010 17:34)

Re: Kosočtverec

#10 07. 03. 2010 21:38

Re: Kosočtverec

Ivana napsal(a):

#11 07. 03. 2010 22:31

Re: Kosočtverec

#12 07. 03. 2010 23:33

Re: Kosočtverec

#13 14. 03. 2010 12:33 — Editoval byk7 (14. 03. 2010 12:33)

Re: Kosočtverec

#14 14. 03. 2010 19:43

Re: Kosočtverec

Zápatí