Matematické Fórum

Skywall2

Zdravím,

ve škole jsme dostali k řešení následující zadání:
Načrtněte graf funkce, pro kterou platí:
$D_f = R - \{3\}$ , přímky $y = x$ a $x = 3$ jsou její asymptoty,
$f (0) =1$ , $f (-1) = f (1) = 0$ , $f (2) = -1$ ,
$f'(-1) = 2$ , $f'(0) = f' (2) = 0$ , $f'_+(1) = -\infty$ , $f'_-(1) = -2$ (tady TeX nějak divně zobrazuje to mínusko dole => není to "_" ale "-")
$f''(x) > 0$ pro $x \epsilon $-\infty, -1$$ , $x \epsilon $1,3$$ , $f''(x) < 0$ pro $x \epsilon $-1,1$$ , $x \epsilon $3,\infty$$
Do obrázku nakreslete také obě asymptoty a tečny resp. polotečny v bodech x = -1,0,1,2.

Dopracovali jsme se k následujícímu grafu (omlouvám se za grafické ztvárnění v malování):

asymptoty - žluťě
tečny - modře
vyřešený průběh - červeně
neznámé - ostatní barvy

Co nás zajímá:
1. Jak bude pokračovat graf v hodnotě x = 2. Půjde směrem nahoru (hnědá barva) nebo směrem dolů (zelená barva). Pokkud půjde dolů, bude dodržena podmínka konvexnosti?

2. Co znamená když je u funkce uvedeno $f'_+(1)$ - je to "platí pouze pro hodnoty x větší než 1 (v grafu vyznačeno jako růžová polotečna)?

Díky za každou odpověď.

Tychi · 09. 03. 2010 18:03 — Editoval Tychi (09. 03. 2010 18:05)

ad 1. řekla bych, že půjde nahoru (hnědá barva), právě kvůli konvexnosti. Nevidím důvod, proč by měla jít dolů.
ad 2. + značí derivaci zprava, - derivaci zleva. Ze zadání je vidět, že funkce v bodě 1 derivaci nemá, když se liší derivace zprava a zleva.

Skywall2 · 09. 03. 2010 18:16

ad. 1 - Co když se zptám: "Proč by nemohla jít dolů?"
ad. 2 - Dík to mě zatím nenapadlo. Nemělo by tedy v zadání být přímo uvedeno že není definovaná ještě např. pro tu 1? Tedy $D_f = R - \{1,3\}$ Nebo to mám chápat v tom stylu, že to vpodstatě mám vyřešit (tuhle otázku beru s rezervou, odpoveď na ni bude znát asi jen profesor :) ).

halogan · 09. 03. 2010 18:27

↑ Skywall2:

1) Protože aby dodržela asymptotu x = 3, musela by být konkávní. A to být nemůže.

2) Jednička musí patřit do definičního oboru (aby se mohly počítat jednostranné derivace).

Skywall2 · 09. 03. 2010 19:59

Ještě by mě zajímalo, jestli je nějaký problém, že hnědá křivka protíná asymptotu s2 (y = x). Bude funkce v bodě "střetu" (téměř x = 3) definovaná?

Tychi · 09. 03. 2010 20:02

↑ Skywall2: jiný dotaz..červaná ti protíná s2 někde u necelé jedničky, tam ti to nevadí a u trojky ano?

halogan · 09. 03. 2010 20:24

Asymptot není třeba se bát, funkce je mohou protínat. Třeba tato svou asymptotu protne nekonečněmnohokrát :-)

Skywall2 · 09. 03. 2010 20:48

Ještě jeden dotaz ohledně x = 1.

Je tento bod nějak speciální (třeba špička) ? V grafu to vypadá, jako by derivací tohoto bodu byla fialová přímka.

jelena · 10. 03. 2010 00:03

↑ Skywall2:

Zdravím,

tento bod x=1 jsem také nerozluštila: zleva přichází funkce konkávní klésající, první derivace zleva existuje, doprava odchází funkce klésající kovexní s tečnou x=1 (po levé straně funkce, aby 1. derivace byla -oo). Pokud by tam nebyla levá derivace "taková jasná", tak bych to viděla jako inflexní bod. Ale žádný hrot v tomto místě neumím vytvořit.

Snad někdo z kolegů, děkuji.

Kondr · 10. 03. 2010 00:40

↑ jelena:Pomůže-li obrázek:

jelena · 10. 03. 2010 00:49 — Editoval jelena (10. 03. 2010 00:52)

↑ Kondr:

děkuji :-) přesně tak to celé mám, ovšem jsem ve své grafice zahladila přechod v x=1, budu muset přejit na modernější prostředky kresby. Tedy ten hrot tam je (je třeba číst o pár příspěvku výš).

Zdravím :-)

EDIT: hrot je tady

Skywall2 · 10. 03. 2010 01:37

Moc děkuji všem za rady a komentáře. Myslím že teď už je vše jasné :)

Skywall2 · 11. 03. 2010 08:59

Takže přecejen bych se chtěl ještě na něco zeptat. Bude graf funkce pro $(3, \infty)$ tak jak je znázorněn na tom obrázku? Nejak tam nevidím tu konkávnost. Graf se totiž už nebude stáčet dolů. Má to být stejně jak je to na řešení od Kondra?

jelena · 11. 03. 2010 09:05

↑ Skywall2:

Zdravím,

já mám na intervalu (3, +oo) graf vycházející z -oo, pokračuje konkávně takový oblouk a na závěr jde podél asymptoty y=x. Souhlasí to?

Skywall2 · 11. 03. 2010 10:17

Tak to máme taky, ale není náhodou podmínkou konkávnosti, že musí protnout min body na ose x? To naše řešení je spíše jen stoupající graf a né konkávnost.

jelena · 11. 03. 2010 10:30

není náhodou podmínkou konkávnosti, že musí protnout min body na ose x

tomu asi nerozumím.

Na intervalu (3, +oo) víme jen, že je konkávní (takova část duhy) a jen asymptota nás donutí nakonec pokračovat podél asymptoty. Jinak by se nenamítala ani část grafu od váženého Moderátora kolegy ↑ Kondra: - pravda, nevěnovala jsem pozornost, že na posledním úseku vytvořil lokálním maximum. Myslím, že k tomu není důvod (ale ani závažnější námitky, až na asymptotu).

Tak, jak tuto část máte ↑ na původním grafu: je to v pořádku.

Matematické Fórum

#1 09. 03. 2010 17:46 — Editoval Skywall2 (09. 03. 2010 17:53)

Řešení průběhu funkce

#2 09. 03. 2010 18:03 — Editoval Tychi (09. 03. 2010 18:05)

Re: Řešení průběhu funkce

#3 09. 03. 2010 18:16

Re: Řešení průběhu funkce

#4 09. 03. 2010 18:27

Re: Řešení průběhu funkce

#5 09. 03. 2010 19:59

Re: Řešení průběhu funkce

#6 09. 03. 2010 20:02

Re: Řešení průběhu funkce

#7 09. 03. 2010 20:24

Re: Řešení průběhu funkce

#8 09. 03. 2010 20:48

Re: Řešení průběhu funkce

#9 10. 03. 2010 00:03

Re: Řešení průběhu funkce

#10 10. 03. 2010 00:40

Re: Řešení průběhu funkce

#11 10. 03. 2010 00:49 — Editoval jelena (10. 03. 2010 00:52)

Re: Řešení průběhu funkce

#12 10. 03. 2010 01:37

Re: Řešení průběhu funkce

#13 11. 03. 2010 08:59

Re: Řešení průběhu funkce

#14 11. 03. 2010 09:05

Re: Řešení průběhu funkce

#15 11. 03. 2010 10:17

Re: Řešení průběhu funkce

#16 11. 03. 2010 10:30

Re: Řešení průběhu funkce

Zápatí