Matematické Fórum

Nejprve doporučuji přečíst
http://cs.wikipedia.org/wiki/Norm%C3%A1lov%C3%BD_vektor
Položíme
x=r
y=s
z=3r^2+2rs-s^2-13r+2
Normálový vektor pak spočítáme jako determinant matice
,
(vzorec jsem okopíroval z Wiki, tučné R v něm značí naši plochu).
Po dosazení rovnic naší plochy
|1    0    6r+2s-13|
|0    1    2r-2s     |=e3-(6r+2s-13)e1-(2r-2s)e2.
|e1 e2    e3         |
Chceme, aby tento vektor byl v bodě dotyku roven k(e1+2e2-e3) (normálový vektor tečné roviny v bodě dotyku má stejný směr s normálovým vektorem plochy, je proto jeho k-násobkem).
Aby si odpovídaly koeficienty u e3, je k=-1. Aby si odpovídaly i zbylé koeficienty
-6r-2s+13=-1
-2r+2s=-2
odtud r=2, s=1.
Dotykový bod má proto souřadnice x=r=2, y=s=1, z=3r^2+2rs-s^2-13r+2=-9. Rovina, která má normálový vektor (1,2,-1) má rovnici x+2y-z+a=0, dosazením x,y,z dotykového bodu
dostaneme a=-13.

Vzdálenost počátku od roviny x+2y-z-13=0
spočítáme podle známého vzorce pro vzdálenost bodu [k,l,m] od roviny ex+fy+gz+h=0:
r=|ek+fl+gm+h|/√(e^2+f^2+g^2).
V našem případě to vyjde |-13|/√6.

Fakt je ten, že jsem se nikdy analýze moc nevěnoval a první verzi jsem psal tak nějak "jak mě to napadlo". Pro daný případ to byla pravda, ale nebylo to korektně zdůvodněné a kdyby šlo o tečnou rovinu sedlové plochy, která se jí dotýká "v sedle", tak se nemusí jednat o extrém (ale obě parciální derivace da/dx i da/dy budou nulové). Aktualizovaný postup plyne přímo z definice, je univerzální a stejně početně náročný jako ten původní (řešíme opět jen jednu soustavu dvou lineárních rovnic).

Z ciste metodickeho hlediska (a z duvodu vreleho vztahu k mat. analyze) doporucuji k tecne rovine pristupovat podle stejneho principu jako k tecne primce. To znamena, ze parcialni derivace jsou zcela spravny pristup.
Jinak zde byla kombinace s ulohou z analyticke geometrie (vzdalenost roviny od bodu) a to je OK
Neco z odkazu, treba se bude hodit:
http://www.umat.feec.vutbr.cz/~kolara/b … averze.pdf