Matematické Fórum

Zitamo · 11. 03. 2010 19:49

Zdravím,
potřeboval bych poradit s provedením důkazu posloupnosti pomocí matematické indukce.
Posloupnost je zadána předpisem: 2/[3^(n-4)] od n=1 do nekonečna. Nevím jak to napsat v TeX, omlouvám se.
Mat. indukci jsem pochopil, pokud mám nějakou řadu čísel kterou sčítám atd. ale když se snažím řešit tohle, tak nedostanu nic do rovnice, respektive nevím co tam dosadit.
Děkuji za radu

zdenek1 · 11. 03. 2010 19:53

↑ Zitamo:
No a co máš dokazovat?

Olin · 11. 03. 2010 19:53 — Editoval Olin (11. 03. 2010 19:53)

To, co dokazujeme, je vždy nějaký výrok - jako třeba "Dokažte, že posloupnost $\{\frac{2}{3^{n-4}}\}_{n=1}^{\infty}$ je omezená" - v tvém příspěvku ovšem žádný matematický výrok nenacházím. Zkus dodat kompletní zadání…

Zitamo · 11. 03. 2010 19:56

Mám dokázat, že to platí pro posloupnost a1= 54, a2= 18, a3= 6, a4=2, a5=2/3, a6=2/9 (uvedeno prvních 6 členů). Má to platit pro všechny přirozená čísla

Olin · 11. 03. 2010 20:11

Ale co má platit pro všechna čísla?

jarrro · 11. 03. 2010 20:21 — Editoval jarrro (11. 03. 2010 20:21)

ak je to zadané tak,že $a_1=54\nla_2=18\nla_3=6\nla_4=2\nla_5=\frac{2}{3}\nla_6=\frac{2}{9}$ a úloha je určiť n-tý člen tak je to nezmyselná úloha,lebo nevieme v akom tvare to má byť tak to môže vyzerať všeliako napr. v tvare
$an^5+bn^4+cn^3+dn^2+en+f$ alebo akokoľvek inak

jelena · 11. 03. 2010 20:31

Zdravím vás,

asi dokázat, že pro každý člen zadané posloupnosti platí, že $a_n=\frac{2}{3^{n-4}}$ . Může být?

jarrro · 11. 03. 2010 20:36

↑ jelena:hej,ale ak je zadaných len niekoľko prvých členov a žiadny rekurentný vzťah tak o všeobecnom člene nemôžeme nič povedať

Zitamo · 11. 03. 2010 20:39 — Editoval Zitamo (11. 03. 2010 20:41)

↑ Olin:
Má platit předpis posloupnosti: $\left(\frac2{3^{n-4}}\right)_{n=1}^{\infty}$ , pro všechna přirozená čísla n. Kde řada posloupnosti je pro (n=1)=54, (n=2)=18,.. jak jsem psal výše.

Teď mě něco napadlo. Nemohlo by to jít takhle?
Rekurentní zápis posloupnosti: $\frac{a_n}{3}=a_{n+1}$
Dále určím vzorec posloupnosti pro n=k+1: $\left(\frac2{3^{k-3}}\right)_{k=2}^{\infty}$
Z toho jsem odvodil (snad dobře): $\frac2{3^{k-4}}=\frac{a_k}3$
A tohle už rovnicí $\frac2{3^{k-3}}=\frac{\frac2{3^{k-4}}}3$ vyřeším na $\frac2{3^{k-3}}=\frac2{3^{k-3}}$

Je to provedení důkazu?

jelena · 11. 03. 2010 20:42

↑ jarrro:

zřejmě přeformulované zadání (co mám před sebou sbírky, tak všude je rekurentní zápis) - co já vím, já jsem ho nevymyslela ani nedala do úvodního příspěvku :-)

nebo mistní evergreen

Zitamo · 11. 03. 2010 20:44

↑ jelena:
Zadání byla tabulka s číslama 54,18,6,2,2/3,2/9. Měli jsme odvodit předpis pro posloupnost a následně to ověřit pomocí indukce

jarrro · 11. 03. 2010 20:53 — Editoval jarrro (11. 03. 2010 21:03)

↑ jelena:chcel som tú tému sem hodiť,ale sa mi ju nechcelo hľadať
↑ Zitamo:práve o tom vravím,že takto zadané to je blbosť viď tému v príspevku↑ jelena:
keby tam bolo spomenuté,že ide o geometrickú postupnosť tak je to ako píšeš vyššie len tá indukcia je kus divne správnejšie by bolo
$a_k=\frac{2}{3^{k-4}}\nla_{k+1}=\frac{\qquad\frac{2}{3^{k-4}}\qquad}{3}=\frac{2}{3^{k+1-4}}$

Zitamo · 11. 03. 2010 20:58

Takže vyřešeno? Můžu to uzavřít?

jarrro · 11. 03. 2010 21:05

↑ Zitamo:hej môžeš to uzavrieť

jelena · 12. 03. 2010 00:58

↑ jarrro: to bylo jednoduché hledání - jak částo do ZŠ píše vážený kolega Pavel? "uživatel + témata ZŠ". Ale teď si budu pamatovat klíčové slovo "Geoffrey Canada". Jinak stačí sdělit, co se hledá, snad si vzpomenu :-)

Jinak zde bylo dosaženo kompletního zjištění zadání již v 11. příspěvku a po 1. hodině cca. Takovou úspěšnost nemáme v tématu o záhadném "e", ze kterého po tydnu je písmeno "l"

Mějte se pěkně :-)

Matematické Fórum

#1 11. 03. 2010 19:49

Důkaz pomocí indukce

#2 11. 03. 2010 19:53

Re: Důkaz pomocí indukce

#3 11. 03. 2010 19:53 — Editoval Olin (11. 03. 2010 19:53)

Re: Důkaz pomocí indukce

#4 11. 03. 2010 19:56

Re: Důkaz pomocí indukce

#5 11. 03. 2010 20:11

Re: Důkaz pomocí indukce

#6 11. 03. 2010 20:21 — Editoval jarrro (11. 03. 2010 20:21)

Re: Důkaz pomocí indukce

#7 11. 03. 2010 20:31

Re: Důkaz pomocí indukce

#8 11. 03. 2010 20:36

Re: Důkaz pomocí indukce

#9 11. 03. 2010 20:39 — Editoval Zitamo (11. 03. 2010 20:41)

Re: Důkaz pomocí indukce

#10 11. 03. 2010 20:42

Re: Důkaz pomocí indukce

#11 11. 03. 2010 20:44

Re: Důkaz pomocí indukce

#12 11. 03. 2010 20:53 — Editoval jarrro (11. 03. 2010 21:03)

Re: Důkaz pomocí indukce

#13 11. 03. 2010 20:58

Re: Důkaz pomocí indukce

#14 11. 03. 2010 21:05

Re: Důkaz pomocí indukce

#15 12. 03. 2010 00:58

Re: Důkaz pomocí indukce

Zápatí