Matematické Fórum

hans_ · 15. 08. 2007 20:07

Začal jsem si po letech obnovovat znalosti ze střední školy a hned jsem shořel na úpravách výrazů s odmocninami.
Koupil jsem si několik knih, ale dost dobře tomu ještě nerozumím a potřeboval bych napřiklad vědět, kde bych našel výčet všech pravidel práce se zlomky, násobení, dělení, krácení atp.
Něco mám již z knihy Odmaturuj z matematiky1, ale tápu nad tím jak například vyřešit pro Vás tento triviální příklad:

$(x-1)(x-\frac6x)$

$x=\sqrt2$

Pro x = 0;1; $\frac32$ se mi příklad podařilo vyřešit.

Díky moc za případné zdroje k příkladům výrazů se zlomky, usměrnění zlomku, mocniny...

Pak budu potřebovat začít opakovat úpravy alegebraických výrazů ;)

jelena · 15. 08. 2007 20:42 — Editoval jelena (15. 08. 2007 20:45)

$(x-1)(x-\frac6x)$

obvykle se najedriv vyzaduje uprava vyrazu a pak dosazeni nejake konkretni hodnoty a overeni, ze upravou se nic nezmenilo - bylo to take pozadováno?

Vyraz v zadani bych jeste pred dosazenim upravila:

$(x-1)(\frac{{x^2}-6}x)$ a pak bych dosazovala za x to, co požaduji

$x=\sqrt2$

$({\sqrt2}-1)(\frac{{{\sqrt2}^2}-6}{\sqrt2})=({\sqrt2}-1)(\frac{2-6}{\sqrt2})$

$({\sqrt2}-1)(\frac{-4}{\sqrt2})=({\sqrt2}-1)({-2\sqrt2})= -4+{2\sqrt2} = 2({\sqrt2} -2)$

Je kazdy krok jasny, zeptej, se prosim, pokud je potreba upresnit. Maji neco podobneho v odpovedi?

Co se tyce zlomku - citatel a jmenovatel zlomku muzeme vynasobit stejnym cislem nebo podelit stejnym cislem - to je zakladem ke kraceni. Nasobeni zlomku - nasobime zvlast citatel s citatelem a jmenovatel s jmenovatelem, pokud neco muzeme kratit, kratime. Deleni - druhy zlomek obratime a pak postupujeme jako u nasobeni. Vice podrobne http://matematika.havrlant.net/zlomky
Hodne zdaru

hans_ · 15. 08. 2007 21:19 — Editoval hans_ (15. 08. 2007 21:20)

Diky za rychlou odpoved.
Zadani tohoto prikladu je : Vypoctete hodnotu vyrazu.
Vysledek maji: $-4 + 2\sqr2$
Tvuj postup si prostuduji a ozvu se cemu jsem nerozumel, jeste jednou diky.

hans_ · 16. 08. 2007 08:09 — Editoval hans_ (16. 08. 2007 08:21)

Tak jsem se podival na reseni a hned mam nekolik dotazu:
1.uprava vyrazu
nerozumim tomu jak jsi upravila
$(x-1)(x-\frac6x)$ na $(x-1)(\frac{{x^2}-6}x)$
Jake pro tento zpusob upravy existuje pravidlo?

2. Uprava $(\frac{-4}{\sqrt2})$ na $({-2\sqrt2})$
V tomhle taky naprosto tapu, jake pro tento zpusob upravy existuje pravidlo?

3. Uprava vysledku
$-4+{2\sqrt2} = 2({\sqrt2} -2)$
V knize meli tento vysledek $-4+{2\sqrt2}$ , proc jsi to upravila na $2({\sqrt2} -2)$

Moc diky za Tvuj cas, nevim jak postupovat dal pokud nezvladam tyto zakladni veci ;(

Kondr · 16. 08. 2007 11:08

Nejprve bych objasnil dva základní pojmy: rozšiřování a krácení zlomků. Rozšiřování je operace, při níž čitatele i jmenovatele násobíme stejným NENULOVÝM číslem nebo výrazem. Třeba 2/3=4/6. Tato operace zachová hodnotu zlomku. Když mám dvě třetiny koláče a každou rozpůlím, dostanu čtyři šestiny koláče.

Opačnou operací je krácení, tedy dělení čítatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem nebo výrazem. Pokud mám nějaký ošklivý zlomek, třeba 50/100, mohu ho zkrátit 50 a dostat hezčí: 1/2. Pokud se po nás chce výsledek v podobě zlomku, chce se v základním tvaru, tedy v takovém, kdy už nejde ničím krátit (pokud nám vyšlo 50/100, neměli bychom jako výsledek psát 5/10 ani 10/20, ale 1/2).

Ad 1: to co Jelena provedla je Převedení společného jmenovatele. Jak to funguje? Potřebujeme sečíst třeba 1/2 a 1/3. Najdeme si společný násobek 2 a 3 (pokud možno ten nejmenší, tedy 6) a víme, že 1/2=3/6 (rozšiřujeme třemi), 1/3=2/6 (rozšiřujeme dvěma), 1/2+1/3=3/6+2/6=5/6. Když sčítáme zlomek s číslem, třeba 2+1/7, tak si to číslo číslo představíme jako zlomek se jmenovatelem 1: 2=2/1. Počítáme tedy 2/1+1/7, opět převedeme na společného jmenovatele a dostaneme 14/7+1/7=15/7 (první zlomek jsme rozšířili sedmi). Pokud nám ve výrazu figuruje x, nejde hledat společný násobek tak jednoduše. Třeba společný násobek výrazů
$x^2-1=(x-1)(x+1)$ a
$x^2-x=(x-1)x$
je $(x-1)(x+1)x=x^3-x$ (to jsem dostal tak, že jsem vynásobil všechny závorky, které figurují v některém z výrazů, jejichž společný násobek hledám).
V našem případě chci na společného jmenovatele převést x (jako zlomek x/1) a 6/x. Jmenovatele jsou 1 a x, společný jmenovatel je proto x. Přitom $\frac{x}1=\frac{x^2}x$ a $\frac{x^2}x-\frac{6}x=\frac{x^2-6}x$ .

Ad 2: Se zomkem stačí provést dvě jednoduché operace -- rozšíření odmocninou ze dvou a zkrácení dvěma, které může zkušenější matematik zahrnout do jedné -- krácení odmocninou ze dvou.
Po rozšíření odmocninou ze 2 dostaneme
$\frac{-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{-4\sqrt{2}}{2}$ , po zkrácení dvěma jelenin výsledek.

Ad 3: Tady Jelena pouze vytkla dvojku, výsledky jsou samozřejmě stejné. Otázka "proč?" je spíše filozofická, někomu se líbí víc výsledek s vytknutou dvojkou, někomu víc ten, co je v knížce. Svůj půvab má i tvar
$\sqrt{8}-4$ -- to je ten samý výsledek, akorát takto se nám bude lépe vyčíslovat na kalkulačce.

hans_ · 17. 08. 2007 17:04

Děkuji moc už jsem to jakž takž pochopil.
Nemáte odkaz na příklady tohoto typu s odmocninami a mocninami s výsledky?
Rád bych si to procvičil.

jelena · 19. 08. 2007 10:46

hans_ napsal(a):
Nemáte odkaz na příklady tohoto typu s odmocninami a mocninami s výsledky?

Na procviceni a pro dalkove studium matematiky hodne doporucuji toto:
http://web.iol.cz/prometheus/ss-m/9621216.htm je to i se vzorovymi priklady. V antikvariatech vidim i starsi vydani - levne.
Jinak je dobre si v rychlosti projet priklady z Belouna (toho maji i v beznych knihovnach, take muze byt starsiho data vydani. Bude jasno, kde jsou mezerky v zakladnich poznatcich a docvicit.

Jeste k uprave a vyslednemu zapisu s odmocninou - plati:

1) pokud jeste neco jde odmacnit do cele casti, tak se to provede (odmocnina z 8 ma byt zapsana jako 2 odmocniny ze 2), samozrejme, pokud to mam pocitat na kalkulacce, tak necham zapis kolegy Kondra, ale do vysledku odmocnim
2) pokud je odmocnina ve zlomku v jmenovateli, tak se musi "usmernit",
treba 1/(odmocnina z 3) donasobim citatel a jmenovatel odmocninou ze 3 a dostanu (odmocnina ze 3) / 3
3) vytykame (to, co jsem jeste provedla ve svem vypoctu) hlavne tehdy, kdyz jeste potrebujeme neco kratit (ja se drzim zasady - vytykam, dokud to jeste jde :-)

Hodne zdaru

hans_ · 19. 08. 2007 15:04 — Editoval hans_ (19. 08. 2007 15:09)

Dekuji za odkaz na literaturu Jeleno.

Jeste bych poprosil o doporuceni zvoleni postupu ve studiu techto oboru:

1. Úpravy algebraických výrazů
1.1. Zlomky a absolutní hodnota
1.2. Mocnina a odmocnina
1.3. Polynomy
---
Pak bude nasledovat:
Algebraické rovnice a nerovnice
2.1. Lineární rovnice a nerovnice
2.2. Kvadratická rovnice a nerovnice
2.3. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

atd.

Mam sice za sebou gymnazium, ale je to jiz radu leta a nyni se musim pripravit na studim na VS, kde me matematika nemine.
Chci zacit systematicky, tak bude urcite nejlepsi to vzit od zakladu, ze?
Vzorce se asi nemusim ucit nazpamet, slysel jsem od kamarada, ze hojne vyuzivat mat.-fyz. tabulky, kt. se pri zkouzkach akceptuji.

Pozn. Koupil jsem si tyto knizky (1,2,3), pomoci kterych se snazim si ucivo zopakovat, resp. se znovu naucit ;)
http://www.kosmas.cz/knihy/124726/odmat … ematiky-3/

Lukee · 19. 08. 2007 18:24

jelena napsal(a):
2) pokud je odmocnina ve zlomku v jmenovateli, tak se musi "usmernit"

Opravdu to ještě platí? Náš přednášející (nebo spíš cvičící) z analýzy totiž tvrdil, že to je přežitek z doby minulé, kdy se ještě odmocniny počítaly pomocí tabulek a v kalkulačkové éře to již ztrácí smysl.

hans_ napsal(a):
Vzorce se asi nemusim ucit nazpamet, slysel jsem od kamarada, ze hojne vyuzivat mat.-fyz. tabulky, kt. se pri zkouzkach akceptuji.

Vzorce se hlavně učíš kvůli sobě. Zkus si schválně vzít do ruky ty tabulky, nalistuj goniometrické vzorce a úpravy a zkus pomocí nich upravit nějaký složitější goniometrický výraz. Počítám, že to budeš počítat hodně dlouho, protože se pořád budeš koukat do tabulek a na příklad a do tabulek a na příklad a do tabulek a na příklad (...) než tam uvidíš nějaký vzorec, který bys mohl aplikovat. Po jeho aplikování si to celé zopakuješ, protože jeden vzorec na složitější goniometrický výraz nestačí. Kdežto pokud ty vzorce znáš, upravíš to za desetinu času. Navíc při těch zkouškách ještě musíš nalistovat správnou stranu v tabulkách :-).

Ale jsou vzorce, které si taky radši najdu v tabulkách, než abych se je učil nazpamě? - třeba některé složitější objemy apod.

jelena · 19. 08. 2007 20:10

Lukee napsal(a):
jelena napsal(a):
2) pokud je odmocnina ve zlomku v jmenovateli, tak se musi "usmernit"
Opravdu to ještě platí? Náš přednášející (nebo spíš cvičící) z analýzy totiž tvrdil, že to je přežitek z doby minulé, kdy se ještě odmocniny počítaly pomocí tabulek a v kalkulačkové éře to již ztrácí smysl

Na strednich skolach je to stale oblibena latka k procvicovani, v ucebnici vidim, v osnovach (alespon, to co je dostupne), jsem to tak podrobne nenasla, ale obavam se, ze jeste dlouho pocitat budou.

V mat. analyze, treba pri derivovani nebo integrovani, byl pozadavek to ponechat bez dalsich uprav - pro zjednoduseni kontroly, zda derivuje a integruje spravne. Pokud to ovsem muselo byt dal pouzito, tak se upravovalo take. Matematika totiz ma i estetickou stranku. Pochopitelne, kazdy ma sve esteticke citeni:-)

jelena napsal(a):
Vzorce se asi nemusim ucit nazpamet, slysel jsem od kamarada, ze hojne vyuzivat mat.-fyz. tabulky, kt. se pri zkouzkach akceptuji.

Toto by Jelena nikdy nerekla, moc prosim o opravu citatu, patri Hansovi. Jelena je totiz znama nejen znalosti vzorecku, jejich soustavnym pouzivanim, ale take tim, ze to tvrde vyzaduje od kazdeho, koho kdy cvicila ( a to i tak, ze u odolnejsich povah bylo prislibeno 50 x to opisovat, no oni (i ony) se radej naucili a pouzivali :-)

jelena · 19. 08. 2007 20:21

hans_ napsal(a):
Jeste bych poprosil o doporuceni zvoleni postupu ve studiu techto oboru:[/url]

Jen pro upresneni - budes se pripravovat na prijimacky nebo uz jsi prijat a "tesis se", ze matematika nemine?

Kondr · 19. 08. 2007 21:15

Lukee napsal(a):
Vzorce se hlavně učíš kvůli sobě. Zkus si schválně vzít do ruky ty tabulky, nalistuj goniometrické vzorce a úpravy a zkus pomocí nich upravit nějaký složitější goniometrický výraz. Počítám, že to budeš počítat hodně dlouho, protože se pořád budeš koukat do tabulek a na příklad a do tabulek a na příklad a do tabulek a na příklad (...) než tam uvidíš nějaký vzorec, který bys mohl aplikovat. Po jeho aplikování si to celé zopakuješ, protože jeden vzorec na složitější goniometrický výraz nestačí. Kdežto pokud ty vzorce znáš, upravíš to za desetinu času. Navíc při těch zkouškách ještě musíš nalistovat správnou stranu v tabulkách :-).

Ale jsou vzorce, které si taky radši najdu v tabulkách, než abych se je učil nazpamě? - třeba některé složitější objemy apod.

Jistě, vzorce jako sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) se hodí pamatovat. Na druhou stranu chci varovat před memorováním zbytečně velkého množství vzorců a babských rad. Chce to mít přehled, co je v dané problematice důležité, to si pamatovat a zbytek umět buď odvodit nebo najít v tabulkách. Pokud se budeš snažit zapamatovat moc vzorců, zapomeneš v nějakém na nějakou konstantu nebo otočíš znaménko a už se vezeš...
Navíc důležitější než vzorce jsou principy (tj. lepší vědět "co ten logaritmus dělá", než si pamatovat pět vzorců s nějakým ošklivým ln, do kterých se něco dosadí a něco z nich vyleze).

A co se týče usměrňování a vytýkání: mělo by to směřovat k tomu, co chce člověk dále s výsledkem dělat. Pokud ho hodlám vyčíslit na kalkulačce, tak ho zbytečně neupravuju. Pokud jej ale chci "dvakrát podtrhnout", je dobré ho napsat tak, aby ho byl člověk schopen bez kalkulačky co nejjednodušeji odhadnout. K tomu pomáhají malá čísla pod odmocninou a celočíselné jmenovatele zlomků. Ale na gymnáziu na tomto nikdy náš kantor nebazíroval a doufám, že na vysoké škole cvičící taky nebudou.

hans_ · 19. 08. 2007 21:21

jelena napsal(a):
hans_ napsal(a):
Jeste bych poprosil o doporuceni zvoleni postupu ve studiu techto oboru:[/url]
Jen pro upresneni - budes se pripravovat na prijimacky nebo uz jsi prijat a "tesis se", ze matematika nemine?

Uz jsem prijat, ale prijimacky z matiky jsme nemeli. :)

jelena · 19. 08. 2007 21:44 — Editoval jelena (19. 08. 2007 21:45)

hans_ napsal(a):
Uz jsem prijat, ale prijimacky z matiky jsme nemeli. :)

Blahopreji k prijeti na VŠ.

Urcite se budou hodit zaklady - ciselny obory, uprava vyrazu ciselnych a algebraickych, znalost a prehled zakladnich funkci a obecne vlastnosti funkci, rovnice, nerovnece nejlepe ve vazbe na funkce. Kolegove mozna jeste doplni neco jinehe, ale na toto bych se zamerila ja.

Ohledne vzorcu - ja mam na mysli opravdu zakladni vzorce (nekomu se to zda hodne, jinemu tak akorat) a to za ucelem uspory casu pri pisemkach a v jinych situacich.
A samozrejme, ne memorovanim, ale pouzivanim, jedine tak. A stejne tak i babskych rad - pokud clovek bude se pohybovat v prostredi odborniku matematiku, tak by bylo trapne se chovat a mluvit nejak "matematicky nespisovne". Pokud ale je podstatne zvladnout pisemky na VŠ (nematematickeho zamereni) nebo pouzit neco prakticky i po deeeelsich letech, tak tady je kazda rada dobra.

V kazdem pripade hodne zdaru a vytrvalosti :-)

Editace: a odchytla jsem 1000. zpravu na foru . Tak jeste jednou hodne zdaru :-)

hans_ · 20. 08. 2007 07:20

jelena napsal(a):
hans_ napsal(a):
Uz jsem prijat, ale prijimacky z matiky jsme nemeli. :)
Blahopreji k prijeti na VŠ.

Urcite se budou hodit zaklady - ciselny obory, uprava vyrazu ciselnych a algebraickych, znalost a prehled zakladnich funkci a obecne vlastnosti funkci, rovnice, nerovnece nejlepe ve vazbe na funkce. Kolegove mozna jeste doplni neco jinehe, ale na toto bych se zamerila ja.

Ohledne vzorcu - ja mam na mysli opravdu zakladni vzorce (nekomu se to zda hodne, jinemu tak akorat) a to za ucelem uspory casu pri pisemkach a v jinych situacich.
A samozrejme, ne memorovanim, ale pouzivanim, jedine tak. A stejne tak i babskych rad - pokud clovek bude se pohybovat v prostredi odborniku matematiku, tak by bylo trapne se chovat a mluvit nejak "matematicky nespisovne". Pokud ale je podstatne zvladnout pisemky na VŠ (nematematickeho zamereni) nebo pouzit neco prakticky i po deeeelsich letech, tak tady je kazda rada dobra.

V kazdem pripade hodne zdaru a vytrvalosti :-)

Editace: a odchytla jsem 1000. zpravu na foru . Tak jeste jednou hodne zdaru :-)

Děkuji za doporučení.
Pokud se na škole aspoň semestr udržím, tak budu zcela jistě tomuto fóru věrný. Zatím díky moc za návod k obnově ztracených znalostí.
Jdu si shánět nějakou literaturu s příklady a určitě tu budu brzy obtěžovat :)
Zaplatil jsem si krátky asi 9-ti hodinový kurz - okruhy matematiky ke studiu na VŠ - tak uvidím co po nás budou chtít.

Hezký den.

Rada Stanislav · 26. 08. 2007 23:01

Prosím o radu jak postupovat při úpravě zlomku s odmocninou ve jmenovateli : 3 / 3√2 *- 1 , tak aby po úpravě byla ve jmenovateli jen jednička. Děkuji, Standa.

Bimetal

Rada Stanislav napsal(a):
3 / 3√2 *- 1

Nechápu zadání. Má to být takto? $\frac{3}{3\sqrt2 - 1}$

Pokud ano, musíme nejprve celý zlomek rozšířit něčím tak, abychom dostali ve jmenovateli odmocninu na druhou a mohli se ji tak zbavit. V tomto případě využijeme vzorečku rozdílu čtverců a vynásobíme čitatel i jmenovatel várazem $3\sqrt2 + 1$ .

$\frac{3(3\sqrt2 + 1)}{(3\sqrt2 - 1)(3\sqrt2 + 1)} = \frac{3(3\sqrt2 + 1)}{9*2 - 1} = \frac{3(3\sqrt2 + 1)}{17}$ a jsem v koncích, takže hádám, že to zadání mělo být jinak =))

jelena · 27. 08. 2007 13:39

$\frac{3}{3(\sqrt2 - 1)}$ mozna, ze tak, ale ted je rada na autorovi zadani :-)

hans_ · 27. 08. 2007 22:36 — Editoval hans_ (27. 08. 2007 22:37)

jelena napsal(a):
$\frac{3}{3(\sqrt2 - 1)}$ mozna, ze tak, ale ted je rada na autorovi zadani :-)

Byl by pak vysledek $\sqrt2 + 1$ ?

Bimetal · 27. 08. 2007 22:42

hans_ napsal(a):
Byl by pak vysledek $\sqrt2 + 1$ ?

Ano, ano =)

jelena · 27. 08. 2007 22:55

a prani autora zadani mit jednicku ve jmenovateli by bylo splneno :-)

Kondr · 27. 08. 2009 17:54

↑ Julo88:
1) usměrnění = vynásobení čitatele i jmenovatele "něčím vhodným". Co je vhodné, plyne z kontextu, zkus nadhodit konkrétní příklad nebo se na fóru podívat na témata o usměrňování, pěkně to na konkrétním příkladě ukázal kolega ↑ Bimetal:
2) ty tvoje obrázky neobsahují nic k usměrnění

Matematické Fórum

#1 15. 08. 2007 20:07

Úpravy výrazů s odmocninami

#2 15. 08. 2007 20:42 — Editoval jelena (15. 08. 2007 20:45)

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#3 15. 08. 2007 21:19 — Editoval hans_ (15. 08. 2007 21:20)

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#4 16. 08. 2007 08:09 — Editoval hans_ (16. 08. 2007 08:21)

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#5 16. 08. 2007 11:08

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#6 17. 08. 2007 17:04

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#7 19. 08. 2007 10:46

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

hans_ napsal(a):

#8 19. 08. 2007 15:04 — Editoval hans_ (19. 08. 2007 15:09)

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#9 19. 08. 2007 18:24

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

jelena napsal(a):

hans_ napsal(a):

#10 19. 08. 2007 20:10

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

Lukee napsal(a):

jelena napsal(a):

jelena napsal(a):

#11 19. 08. 2007 20:21

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

hans_ napsal(a):

#12 19. 08. 2007 21:15

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

Lukee napsal(a):

#13 19. 08. 2007 21:21

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

jelena napsal(a):

hans_ napsal(a):

#14 19. 08. 2007 21:44 — Editoval jelena (19. 08. 2007 21:45)

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

hans_ napsal(a):

#15 20. 08. 2007 07:20

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

jelena napsal(a):

hans_ napsal(a):

#16 26. 08. 2007 23:01

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#17 27. 08. 2007 12:23 — Editoval Bimetal (27. 08. 2007 12:41)

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

Rada Stanislav napsal(a):

#18 27. 08. 2007 13:39

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#19 27. 08. 2007 22:36 — Editoval hans_ (27. 08. 2007 22:37)

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

jelena napsal(a):

#20 27. 08. 2007 22:42

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

hans_ napsal(a):

#21 27. 08. 2007 22:55

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

#22 27. 08. 2009 17:54

Re: Úpravy výrazů s odmocninami

Zápatí