Matematické Fórum

BakyX · 14. 03. 2010 21:46

Máme dané tri zlomky:

$\frac{a}{b}$
$\frac{c}{d}$
$\frac{e}{f}$

Hodnota týchto zlomkov je číslo s troma periodickymi sa opakujucími číslami:

$\frac{a}{b}$ - 2,3,(x-y)
$\frac{c}{d}$ - 4,3,(x+y)
$\frac{e}{f}$ - 5,2,(x-1)

Ďalej vieme, že:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}-\frac{e}{f}=\frac{146}{999}$
$\frac{(a+c+e)x}{(b+d+f)y}=\frac{995}{999}$

Zisti hodnotu čísel x,y,a,b,c,d,e,f. Zdvôvodni, koľko riešení má táto úloha :D.

FailED · 15. 03. 2010 17:03

↑ BakyX:

Odkud je ta úloha?

BakyX · 15. 03. 2010 18:35

Dal mi ju kamos a jemu jeho mama, ktora je ucka matiky.

FailED · 15. 03. 2010 19:49 — Editoval FailED (16. 03. 2010 17:23)

↑ BakyX:

No dobrá.. já jsem to řešil takhle:

Pokud to dobře chápu, $x, y$ jsou jednociferná čísla a $\frac ab, \frac cd, \frac ef$ jsou ryze periodická čísla je to tak? Navíc budu předpokládat že ta čísla jdou po sobě tak, jak píšeš a je to od začátku periody. Ještě počítám s tím, že $a, b, c, d, e, f, x, y \quad \in\quad \mathbb{N}_0$

Budu tedy uvažovat čísla $\frac ab=0,\overline{23J},\qquad \frac cd=0,\overline{43K},\qquad \frac ef=0,\overline{52L}$ ,
kde $J=x-y, \quad K=x+y, L=x-1$

Aby se v periodách $\frac ab, \frac cd, \frac ef$ opakovaly 3 číslice, musí $(x-y), (x+y), (x-1)$ být jednociferná čísla.
Vzhledem ke druhé rovnosti platí $y\in\{1,2,3,4\}$

Nevím jak to měl kamarád počítat, snad můžu přímo použít vzorec $0,\overline{ABC}=\frac{ABC}{999}$

Upravíme první rovnost:

Teď se podíváme na čísla a, b, c, d, e, f: (Nebylo v zadání že jsou zlomky v základním tvaru?)
$\frac ef=\frac{524}{999}$ - zlomek je v základním tvaru, proto e=524s, f=999s

Pro y=1: a=26t, b=111t, c=236u, d=999u
pro y=2: a=233t, b=999t, c=79u, d=333u
pro y=3: a=232t, b=999t, c=238u, d=999u
pro y=4: a=77t, b=333t, c=238u, d=999u

Teď stačí dosadit do druhé rovnosti ze zadání a provést diskusi.