Matematické Fórum

teolog

Zdravím znalce matematiky a prosím o pomoc při řešení tohoto příkladu:
Rozhodněte o pravdivosti formule $(\forall x)(\exists y)(\varphi(x)\Rightarrow\psi(y))\Rightarrow(\exists y)(\forall x)(\varphi(x)\Rightarrow\psi(y))$ . Jak bych to měl dokázat?
Díky předem za případnou pomoc.

Pavel Brožek

Můj pokus (neručím za správnost):

a) Předpokládejme platnost $(\forall x)(\neg\varphi(x))$ . Pak platí jak $(\forall x)(\exists y)(\varphi(x)\Rightarrow\psi(y))$ , tak i $(\exists y)(\forall x)(\varphi(x)\Rightarrow\psi(y))$ (z nepravdy plyne cokoliv), platí proto i celá implikace.

b) Předpokládejme platnost negace $(\forall x)(\neg\varphi(x))$ , tedy $(\exists x_1)(\varphi(x_1))$ . Podle levé strany $(\forall x)(\exists y)(\varphi(x)\Rightarrow\psi(y))$ existuje $y_1$ takové, že $(\varphi(x_1)\Rightarrow\psi(y_1))$ (a protože $(\varphi(x_1))$ platí, implikuje to platnost $(\psi(y_1))$ ). Teď ukážu, že toto $y_1$ je to z pravé strany té hlavní implikace. Vezmeme-li totiž libovolné $x$ , tak buď $(\varphi(x))$ - pak zřejmě $(\varphi(x)\Rightarrow\psi(y_1))$ - nebo $(\neg\varphi(x))$ a z nepravdy zase plyne cokoliv, takže výraz na pravé straně implikace je pravdivý, celá implikace proto platí.

Omlouvám se za všechny nepřesnosti :-)