Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 18. 03. 2010 09:22 — Editoval Marian (18. 03. 2010 09:23)
Řešení rovnice
Nechť je dána rovnice 
s neznámou ![$x\in [0,1]$](/mathtex/78/78bb3465294c0a7bd59c6a1cdea9a087.gif "kopírovat do textarea")
. Dokažte, že
(1) existuje řešení této rovnice na uvedeném intervalu pro libovolné n,
(2) řešení závisí na volbě čísla n - označte ho jako 
,
(3) najděte 
.
Úloha se dá řešit snadno a bod (3) lze "řešit" uhodnutím, ale berte to jako cvičení s požadavkem na maximálně transparentní řešení a korektní důkazy všech tvrzení (1)-(3) a všech pomocných tvrzení. Rozsah látky potřebné k řešení není (nemusí být) větší než úvodní kurs analýzy na VŠ.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) byk7)
#2 18. 03. 2010 11:31 — Editoval Pavel (18. 03. 2010 12:25)
Re: Řešení rovnice
je na intervalu ![$[0,1]$](/mathtex/52/520897da7413e2014a7783a154b21dba.gif "kopírovat do textarea")
spojitá a platí 
a 
. Tzn. existuje bod ![$t\in[0,1]$](/mathtex/78/7855e6e15435ece52cfb477247d43585.gif "kopírovat do textarea")
, pro který platí 
. 
, pak by obě rovnice 
a 
měly stejná řešení, což nemají.
bude kořenem rovnice 
. Protože stačí uvažovat 
(pro 
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#3 18. 03. 2010 14:03 — Editoval Rumburak (18. 03. 2010 16:07)
Re: Řešení rovnice
Snažil jsem se postupovat hodně podrobně, čímž jsem přišel o "modrou stuhu". :-)
.![$x\,\in\,[0,\,1]$](/mathtex/92/92118898953abddeab59154d5c721278.gif "kopírovat do textarea")
definujme 
. 
, 
, pří čemž 
je funkce, která je v intervalu ![$[0,\,1]$](/mathtex/f5/f50f9da34079d25c0810ee32df2d07cc.gif "kopírovat do textarea")
na interval ![$[0,\,n]$](/mathtex/c2/c2a4beb2667226b346939c3558cb1b3c.gif "kopírovat do textarea")
, zároveň ![$1\,\in\,[0,\,n]$](/mathtex/4a/4a721d08b1ec29c61fe6ae71d59f3952.gif "kopírovat do textarea")
, odtud existence a jednoznačnost řešení 
na intervalu 
, v ostatních případech 
.![$x\,\in\,(0,\,1]$](/mathtex/6f/6f5e6808c04ac0f46571a23897cefa4d.gif "kopírovat do textarea")
je poslouopnost 
rostoucí, takže má-li 
být posloupnost, která je
být klesající - nechť 
je její infimum (a zároveň limita). Jistě tedy existují čísla 
, 
taková, že
pro libovolná 
, 
) , odtud 
pro libovolná 
.
je 
, takže 
,
, 
.Místo do Algebry bych to zařadil do Analýzy.
Offline
#4 18. 03. 2010 20:59
- check_drummer
- Příspěvky: 4952
- Reputace: 106
Re: Řešení rovnice
V podstatě se jedná o rovnice:
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 19. 03. 2010 14:15 — Editoval musixx (19. 03. 2010 14:35)
Re: Řešení rovnice
S tím zařazením do analýzy...
(tzv. formální derivace zavedená v algebře)
dává snadno 
dává již trošku s počítáním 
(
jde celkem snadno najít s podmínkou, že 
už musí být konstanta;
, kde aby se to hezky odčítalo a celkem to až na konstantu dalo 
, tak v A, B, atd. se budou postupně navyšovat mocniny u toho koeficientu, jako je u 
-- pak stačí jen výsledné 
(tj. až na znaménko absolutní člen ve 
, 
, 
, 
dává 
.
, 
, 
, 
dává 
.
kořeny, ale ten 
jsme si schválně přidali. Proto zbývá jediný kořen na 
, což jsme potřebovali ukázat.Offline
#7 20. 03. 2010 14:12
Re: Řešení rovnice
↑ Pavel:↑ Rumburak:↑ musixx:
Výborně. Mé řešení se pouze mále liší od Pavlova a Rumburakova. Přístup od musixx je skutečně algebraický.
Zároveň souhlasím s tím, že to mohlo být zařazeno do analýzy, ale chtěl jsem trochu prohřát i tuto sekci. Navíc je vidět, že lze řešit problém i algebraickým aparátem.
Offline