Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 03. 2010 09:22 — Editoval Marian (18. 03. 2010 09:23)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2512
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   67 
 

Řešení rovnice

Nechť je dána rovnice

$x^n+x^{n-1}+\cdots +x=1,\qquad\qquad\forall n\in\mathbb{N}$

s neznámou $x\in [0,1]$. Dokažte, že

(1) existuje řešení této rovnice na uvedeném intervalu pro libovolné n,
(2) řešení závisí na volbě čísla n - označte ho jako $x_n$,
(3) najděte $\xi :=\lim\limits_{n\to\infty}x_n$.



Úloha se dá řešit snadno a bod (3) lze "řešit" uhodnutím, ale berte to jako cvičení s požadavkem na maximálně transparentní řešení a korektní důkazy všech tvrzení (1)-(3) a všech pomocných tvrzení. Rozsah látky potřebné k řešení není (nemusí být) větší než úvodní kurs analýzy na VŠ.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 18. 03. 2010 11:31 — Editoval Pavel (18. 03. 2010 12:25)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Řešení rovnice

↑ Marian:


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 18. 03. 2010 14:03 — Editoval Rumburak (18. 03. 2010 16:07)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Řešení rovnice

Snažil jsem se postupovat hodně podrobně, čímž jsem přišel o "modrou stuhu".   :-)



Místo do Algebry bych to zařadil do Analýzy.

Offline

 

#4 18. 03. 2010 20:59

check_drummer
Příspěvky: 3685
Reputace:   89 
 

Re: Řešení rovnice

V podstatě se jedná o rovnice:
$x^{n+1}-2x+1=0$


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Online

 

#5 19. 03. 2010 14:15 — Editoval musixx (19. 03. 2010 14:35)

musixx
Místo: Brno
Příspěvky: 1771
Reputace:   45 
 

Re: Řešení rovnice

S tím zařazením do analýzy...

Offline

 

#6 19. 03. 2010 16:02

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Řešení rovnice

↑ musixx:
Hezký postup!  Takže z analýzy tam nakonec zbývá jedině ta závěrečná limita...

Offline

 

#7 20. 03. 2010 14:12

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2512
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   67 
 

Re: Řešení rovnice

↑ Pavel:↑ Rumburak:↑ musixx:

Výborně. Mé řešení se pouze mále liší od Pavlova a Rumburakova. Přístup od musixx je skutečně algebraický.

Zároveň souhlasím s tím, že to mohlo být zařazeno do analýzy, ale chtěl jsem trochu prohřát i tuto sekci. Navíc je vidět, že lze řešit problém i algebraickým aparátem.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson