Matematické Fórum

h3r0 · 17. 03. 2010 09:02

Dobrý den,
potřeboval bych nejakej návod, nasmerování jak nato. Ďěkuji.

Na obrázku (1) je úsek přímeho vodiče délky L, kterým protéka proud I.
Dokažte, že velikost magnetické indukce B buzené úseku P2
ve vzdálenosti R od konce vodiče je:

$B = \frac{\mu_0I}{4\pi R} \cdot \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}}$

h3r0 · 18. 03. 2010 19:56

Nejake napady jak s tim pohnout?

medvidek

Pro výpočet magnetické indukce v okolí stacionárně se pohybujících nábojů je vhodné použít Biotův-Savartův zákon http://cs.wikipedia.org/wiki/Biot%C5%AF … z%C3%A1kon , který vyplývá z Maxwellovych rovnic při tzv. magnetostatické aproximaci (čistě magnetické, pomalu proměnné pole). To je náš případ, protože proud I, a tedy i mag. pole je konstantní.
$\mathbf{\vec B} = \int\frac{\mu_0}{4\pi} \ \frac{I d\mathbf{\vec l} \times \mathbf{\vec r}}{|r|^3}$
Výsledné mag. pole bude superpozicí infinitesimálních příspěvků od proudových elementů $I d \vec l$
$\vec r$ je vektor mířící od proudového elementu $I d \vec l$ k bodu $P_2$
$\vec r$ je funkcí proměnné $l$ , přičemž platí: $r=sqrt(R^2+l^2)$
Zajímají nás pouze velikosti, proto využijeme vztah $|d\mathbf{\vec l} \times \mathbf{\vec r}|=|dl| \cdot |r| \cdot \sin \alpha$ a dostaneme
$\mathbf{B} = \frac{\mu_0I}{4\pi} \int \frac{\sin \alpha}{|r|^2} \ dl$
Pro úhel $\alpha$ , který je svírán vektory $d\mathbf{\vec l}$ a $\mathbf{\vec r}$ , platí $\sin \alpha =\frac {R}{r}$ . Po dosazení bude
$\mathbf{B} = \frac{\mu_0IR}{4\pi} \int (R^2+l^2)^{-\frac{3}{2}} \ dl$
Po provedení integrace v mezích od 0 do L dostaneme výsledek
$B = \frac{\mu_0I}{4\pi R} \cdot \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}}$

POZNÁMKA:
Úloha se nezakládá na realitě. Není možné, aby proud na jednom konci vodiče vznikal a na druhém konci zanikal. Tím bychom např. dospěli k existenci magnetického monopólu.
Reálný obvod musí být uzavřený a v řešení bude integrál přes uzavřenou křivku.

h3r0 · 19. 03. 2010 13:29

Fajn, super. ta poznamka je OK? Celkom zaujimave :-)

medvidek

↑ h3r0:
Praxe je přece jen o trochu složitější. Záleží na tom, jakou nepřesnost výpočtu si můžeme dovolit. Představ si například, že počítáš to pole v bodu $P_1$ , přičemž je vzdálenost $R$ mnohem menší než $L$ . Pak budou ty infinitesimální příspěvky od konců vodiče zanedbatelné ve srovnání s polem generovaným střední (blízkou) částí vodiče. Mohu si pak dovolit integrovat jen v blízkém okolí bodu $P_1$ . O vzdálenější okolí se nemusím zajímat, protože výsledek to významně neovlivní. V takovém případě je tedy jedno, jak ten obvod vypadá "někde v dálce".

V konkrétním případě bodu $P_2$ se nacházíme "u konce" a nevíme, kudy ten vodič pokračuje dál. Je jasné, že zamlčená (nutně existující) část vodiče může výsledek ovlivnit.

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2010 09:02

Magnetické pole elektrického proudu - Mag. indukce

#2 18. 03. 2010 19:56

Re: Magnetické pole elektrického proudu - Mag. indukce

#3 19. 03. 2010 03:53 — Editoval medvidek (19. 03. 2010 03:56)

Re: Magnetické pole elektrického proudu - Mag. indukce

#4 19. 03. 2010 13:29

Re: Magnetické pole elektrického proudu - Mag. indukce

#5 19. 03. 2010 14:21 — Editoval medvidek (20. 03. 2010 04:03)

Re: Magnetické pole elektrického proudu - Mag. indukce

Zápatí