Matematické Fórum

byk7 · 21. 03. 2010 14:06

Dobré odpoledne,

chtěl bych se zeptat jestli existuje neprázdná množina bodů,
které mají od dvou mimoběžěk stejnou vzdálenost.

Děkuji

Pavel Brožek

Množina bodů stejně vzdálených od jedné přímky tvoří povrch nekonečně dlouhého válce. Představ si, že kolem těch dvou mimoběžek máš dva válce o stejném poloměru. Když jejich poloměr budeš zvětšovat, určitě se někdy protnou (to bude v polovině příčky mezi mimoběžkami). Když budeš dál poloměr válců zvětšovat, budou se protínat na nějaké křivce. Takže taková množina bodů existuje, bude tvořit nějakou plochu v třírozměrném prostoru.

Pavel Brožek · 21. 03. 2010 20:47

Např. pro přímky

$x=t\nl y=0\nl z=0$

a

$x=0\nl y=t\nl z=1$

kde $t\in\mathbb{R}$ je množina bodů stejně vzdálených od obou přímek popsána rovnicí

$x^2-y^2-2z+1=0$

Obrázek:

byk7 · 27. 04. 2014 18:54

Ta plocha je hyperbolický paraboloid.
Dá se v obecnosti říct, že množina bodů,
které mají od dvou mimoběžek stejnou vzdálenost,
je právě hyperbolický paraboloid?

Pavel Brožek · 10. 05. 2014 23:07

↑ byk7:

Transformace rotace a posunutí zachovává vzdálenosti a i vlastnost "být hyperbolický paraboloid". Takže bych si vzal speciální případ dvou přímek

$x=t\nl y=0\nl z=0$

a

$x=at\nl y=t\nl z=b$

pro reálné $a$ a kladné $b$ . Pro ty bych ukázal, že vyjde hyperbolický paraboloid (nedělal jsem to, ale čekal bych, že to tak vyjde). Každá poloha dvou mimoběžek se dá rotací a posunutím převést na tyhle dvě přímky, takže by to bylo vyřešené.

vanok · 12. 05. 2014 13:41 — Editoval vanok (14. 05. 2014 04:37)

Poznamka:
Toto cvicenie sa da vyriesit aj vdaka tomuto.
Ak hladas g.m.b. ekvidistantnych bodov mimomeznych priamok D, D', takych ze smerovy vektor priamky D je $\vec{a}$ , a smerovy vektor priamky D' je $\vec{b}$ a ze stred spolocnej kolmice( usecka [AB],kde $A\in D, B \in D'$ ) k priamkam D,D' je bod O.( predpokladam, ze smerove vektory priamok su jednodkove, uhol smerovych vektorov oznacim $\theta$ , a dlzka usecky [AB] je 2c )
Potom v repery
$(O; \vec i=\frac {\vec{a}+\vec{b}}{||\vec{a}+\vec{b}||},\vec j =\frac {\vec{a}-\vdc{b}}{||\vec{a}-\vec{b}||},\vec k=\frac {\vec{a}\wedge \vec{b}}{||\vec{a} \wedge \vec{b}||})$ , a tak $\vec{a}=(\cos \frac {\theta } 2, \ sin \frac {\theta } 2,0)$
$\vec{b}=(\cos \frac {\theta } 2, -\ sin \frac {\theta } 2,0)$

dany problem sa da teraz jednoducho formulovat a vyriesit.
Ak treba mozem tu napisat cele riesenie.

Édit: posledna cast riesenia ( a bez toho aby som musel vyjadrit parametricke rovnice priamok D,D')
Staci vyjadrit, ze $d(M,D)=d(M,D')$
Akoze
$d(M,D)= \frac {\Vert \overrightarrow{AM} \wedge \vec a \Vert}{\Vert \vec a \Vert}=\Vert \overrightarrow{AM} \wedge \vec a \Vert$ , kde $\overrightarrow{AM}= ( x,y,z-c)$
$d(M,D')= \frac {\Vert \overrightarrow{BM} \wedge \vec b \Vert}{\Vert \vec v \Vert}=\Vert \overrightarrow{BM} \wedge \vec b \Vert$ , kde $\overrightarrow{M}= ( x,y,z+c)$ .
To da
$( z-c)^2+(y\cos \frac {\theta}2-x\sin \frac {\theta}2)^2= ( z+c)^2+(y\cos \frac {\theta}2+x\sin \frac {\theta}2)^2$
a po zjednoduseni
$2zc+xy\sin (\theta)=0$

Brano · 14. 05. 2014 01:15

↑ Pavel Brožek:
ja by som tym istym argumentom odporucil take trosku symetrickejsie priamky.

konkretne takto: rotacie a posunutia nemenia vzdialenost a ani tvar plochy, takze dve priamky sa daju prerobit na taketo:
$p:[t,at,-b]$ a $q:[t,-at,b]$ . Teraz staci najst vzdialenosti $d_p,d_q$ bodu $(x,y,z)$ od $p,q$ co vyjde vcelku pekne - t.j. $(a^2+1)d_p^2=(ax-y)^2+(a^2+1)(z+b)^2$ a $(a^2+1)d_q^2=(ax+y)^2+(a^2+1)(z-b)^2$ z coho potom podmienkou $d_p=d_q$ dostaneme
$(a^2+1)bz=axy$ co je za predpokladu $a,b\not=0$ parabolicky hyperboloid;
Ak $a\not=0$ a $b=0$ tak sa jednalo o dve roznobezky v rovine a vysledok su dve pretinajuce sa roviny $x=0$ a $y=0$ - t.j. take, ktorych stopy v rovine v ktorej sa nachadzaju povodne priamky tvoria osi tychto priamok;
Ak $a=0$ a $b\not=0$ tak sa jednalo o rovnobezky a vysledok je rovina kolma na rovinu nimi urcenu a prechadzajuca ich "priemerom"/strednou prieckou/osou(?);
A na zaver ak $a=b=0$ tak sa jednalo o zhodne priamky a vysledok je cely priestor.

vanok · 14. 05. 2014 04:44

Pozdravujem ↑ Brano:,
Doeditoval som v #6 cele riesenie.
Ako mozes konstatovat, netreba si komplikovat zivot z transformaciami, ked staci vybrat vhodny reper v ktorom vypocty su co najjednoduchsie.
Geometricky tvoje a moje riesenie su urobene na tej istej myslienke.
Poznamenavam, ze som sa ani nemusel namahat z parametrisaciou priamok.

Brano · 14. 05. 2014 10:51

↑ vanok:
inak musim sa priznat, ze aj ja som nad tym povodne rozmyslal tak ze "zvolim si vhodnu bazu danu smerovymi vektormi a ich vektorovym sucinom" ale potom som to "prelozil" do tych transformacii, lebo sa mi to tak zdalo nazornejsie - ale to uz je nakoniec vec vkusu :)
a este toho, ze som vzdy lenivy si zapamatat vzorec pre vzdialenost bodu od priamky, takze som to parametrizoval a riesil optimalizacnu ulohu :)

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2010 14:06

Množina bodů daných vlastností

#2 21. 03. 2010 14:35 — Editoval BrozekP (21. 03. 2010 14:36)

Re: Množina bodů daných vlastností

#3 21. 03. 2010 20:47

Re: Množina bodů daných vlastností

#4 27. 04. 2014 18:54

Re: Množina bodů daných vlastností

#5 10. 05. 2014 23:07

Re: Množina bodů daných vlastností

#6 12. 05. 2014 13:41 — Editoval vanok (14. 05. 2014 04:37)

Re: Množina bodů daných vlastností

#7 14. 05. 2014 01:15

Re: Množina bodů daných vlastností

#8 14. 05. 2014 04:44

Re: Množina bodů daných vlastností

#9 14. 05. 2014 10:51

Re: Množina bodů daných vlastností

Zápatí