Matematické Fórum

pavelk · 23. 03. 2010 15:04

Preji pekny den.
Uz je mi trochu trapne se porad ptat, ale presto me okolnosti k tomu donutili, neb jsem dostal jako projekt prezentaci u tabule nekolika prikladu a mam na pripravu pouze 2 dny.. Par se mi jich povedlo spocitat sam ale u nekterych si nejsem jisty.
1. $\lim\frac{n*sin(n!)}{n^2+1} = lim\frac{n(sin(1!))}{n(n+\frac1n)} = \frac{1}{\infty} = 0$
Nejsem si jist, jestli muzu vytknout n z argumentu funkce Sinus.
2. $\lim\frac{1+2+...+n}{\sqrt[3]{8n^6-n}}$ tento priklad mi dela asi nejvetsi problemy prave kvuli citateli, kde nevim co si s tim n muzu dovolit, ale ciste odhadem mi vychazi jako $\frac{\infty}{\infty}$ coz neni definovano.
3. $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+\sqrt{x}-1}{(\sqrt[3]{x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\sqrt{x}}+1)}$ a dal bych chtel vykratit $x+\sqrt{x}$ ale bohuzel me nenapada jak to udelat efektivne. Odhaduji, ze limita by mohla byt -1.
4. $\lim_{x\rightarrow0}\frac{tg(2x)}{sin(5x)}$ Protoze tg(0) a sin(0) mi vychazi oboji 0, troufam si rici ze by limita mohla byt take 0. Bohuzel takove tvrzeni mi u tabule asi neprojde, zrejme je v tomhle pripade nutno pouzit vzorcu, z tg udelat podil sin/cos, sin ve jmenovateli bych si taky nejak roznasobil a vytknul alespon cos, pak uz by to bylo mozna jasnejsi.
Pokud by si nekdo udelal trochu casu a pomohl mi doresit tyto limity, moc bych byl vdecny. Nesmirne si vazim vsech, kteri tady pomahaji a uvedomuji si, ze to nemaji jednoduche, proto jsem ochoten financne podporit matforum alespon symbolickou castkou.
Predem dekuji

kaja(z_hajovny) · 23. 03. 2010 15:13

ad 1 - vytknout se opravdu neda, ale limita se da zapsat jako limita ze soucinu, kde jedna funkce je ohranicena a druha jde k nule

ad 2 - ciste odhadem, v citateli se da secist aritmeticka rada a bude to jako n^2, ve jmenovateli to je cca jako n^(6/8), podil je cca n^(10/8) a jde to do nekonecna

ad 3 -
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{tg(2x)}{sin(5x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin(2x)}{2x}\frac{5x}{sin(5x)}\frac{1}{\cos(2x)}A$
je potreba doladit konstantu A tak, aby opravdu platila rovnost a potom vyuzit pozoruhodnou limitu $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\cdots$

Rumburak

↑ pavelk:
Úloha 3.

Zde když čitatele i jmenovatele vydělíme $\sqrt x$ , dostaneme

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}-1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}= \,\,\lim_{x\rightarrow+\infty}\,\,\frac{\sqrt{1+\frac {1}{\sqrt{x}}}-\frac {1}{\sqrt x}}{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt x}-1}= \,\,\lim_{x\rightarrow+\infty}\,\,\frac{\sqrt{1+\frac {1}{\sqrt{x}}}-\frac {1}{\sqrt x}}{\frac{1}{\sqrt[6] x}-1} =\frac{\sqrt{1+0}-0}{0-1} = -1$ .

pavelk · 23. 03. 2010 15:51

↑ kaja(z_hajovny):
Dekuji za odpoved,
ad 1.
Pokud to upravim takto:
$\lim\frac{n*sin(n!)}{1} * \lim\frac{1}{n^2+1}$ Tak si pripadam ze jsem tam kde jsem byl ..
ad 2.
Kdyz jsem overil rovnost n^(6/8) se jmenovatelem v zadani tak se to bohuzel nerovnalo.
ad 4.
Neslo by to udelat i bez te konstanty ? Nic takoveho nam nikdo zatim neukazoval :-(
Moc bych prosil, jestli by mi nekdo nenapsal postup, abych to nejak mohl odprezentovat.

musixx · 23. 03. 2010 15:51 — Editoval musixx (23. 03. 2010 15:57)

Myslím, že ↑ kaja(z_hajovny): ve 2. (výjimečně a rozhodně omylem) pomíchal konstanty. Čitatel i jmenovatel je řádově $n^2$ , takže je třeba podívat se na patřičné koeficienty: $\frac{\frac12}{\ \sqrt[3]8\ }=\frac14$ .

pavelk · 23. 03. 2010 15:54

↑ Rumburak:
Dekuji, mohlo me to napadnout, takhle to vypada podstatne jednoduseji.

pavelk · 23. 03. 2010 16:34

↑ musixx:
Prosim, mohl bych se zeptat odkud dostanu tu 1/2 ?

musixx · 23. 03. 2010 16:36

↑ pavelk: $1+2+\cdots+n=\frac12n(n+1)$

pavelk · 23. 03. 2010 17:08

↑ musixx:
Dekuji,
Ted kdyz to prepocitam na mocniny, tak to vypada takto:
$\lim\frac{\frac12n^{\frac63}+\frac12n^{\frac33}}{8n^{\frac63}-n^{\frac13}}$ vykratim $n^{\frac63}$ a ted resim jak se zbavit tech dalsich dvou n

pavelk · 23. 03. 2010 18:24

Snazne prosim, nemohl by to nekdo doresit, ja uz nad tim sedim docela dlouho a nevim si rady :-( Je to pro me moc dulezite.

lukaszh · 23. 03. 2010 19:52

↑ pavelk:

Nemôžeš len tak vykrátiť $n^{\frac63}$ . Pre riešením limít by si si mal zopakovať úpravy výrazov zo základnej školy.
$\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\nl(a+b)^{n}\ne a^n+b^n\nl\sqrt[3]{8n^{6}-n}\ne\sqrt[3]{8n^6}-\sqrt[3]{n}$
Pozor na to !!!
Pre súčin však platí
$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]a\sqrt[3]b$

pavelk · 23. 03. 2010 20:10

↑ lukaszh:
Opet dekuji,
rozhodne mate pravdu ze bych si mel zopakovat zakladni pravidla - uz na stredni jsem mel se zaklady problemy, i kdyz jsem kupodivu odmaturoval za 1. Takze s temi vypocty tak nejak porad bojuji. Nastesti to je jediny predmet, ktery mi relativne nejde.
Co se tyce prikladu, tak na tento postup bych bez napovedy urcite neprisel :-(

lukaszh · 23. 03. 2010 20:13

↑ pavelk:

Treba si to ale seriózne zopakovať, pretože pri limitách je toho veľa. Príde integrovanie, derivovanie a tam sa exponentami ešte pár krát pohráš.

pavelk · 23. 03. 2010 20:29

↑ lukaszh:
Ve skutcnosti uz prislo, my to bereme na FEI trochu svihem, 2 tydny limity (2x 1,5h cviceni) a ted uz prichazi derivace, nejhorsi je, ze jsem na tom jeste, podle ostatnich, docela dobre.

pavelk · 24. 03. 2010 15:11 — Editoval pavelk (24. 03. 2010 15:23)

Tak mi vysel ten 4. priklad 2/5.
Uz jenom ten 1. priklad a bude to, nenajde se nejaky dobrak ?
Mel by vyjit 0, tj 1/n protoze |sin| <= 1 .. Jenom bych potreboval napsat ten postup .. moc prosim.

musixx · 24. 03. 2010 15:24 — Editoval musixx (24. 03. 2010 15:25)

↑ pavelk: Vždyť už na začátku odpověděl ↑ kaja(z_hajovny): -- $\lim_{n\to\infty}\ \ \frac n{n^2+1}$ je nula (opět stejný argument: polynom v čitateli má nižší stupeň než polynom ve jmenovateli). Funkce sinus je ohraničená, ať je její argument jakýkoli (obor hodnot od mínus jedné do plus jedné), no a nula násobená libovolným číslem z [-1,1] je pořád nula.

(Upozornění: pozor na případ, že bychom se podobně chtěli stavět k řešení v případě, že by na místě funkce sinus stála nějaká funkce neohraničená. Pak by to totiž mohlo vést na výrazy typu $\infty\cdot0$ , ke kterým je třeba přistupovat jinak, jak jistě víš.)

pavelk · 24. 03. 2010 15:42 — Editoval pavelk (24. 03. 2010 15:52)

↑ musixx:Aha, ted uz je mi to jasnejsi, pouze nechapu kde se veme nula jak pisete v "no a nula násobená libovolným číslem z [-1,1] ", pokud by mi sinus daval tech <-1; 1> tak citatel muze byt kladny i zaporny, nebo se mylim ? Nebo v tom hraje roli ten faktorial ? Po vykraceni n, by mi tedy melo vyjit:
$\frac 1{\infty+1} = 0$

musixx · 24. 03. 2010 16:12

↑ pavelk: Představ si $\lim\frac{n\cdot\sin(n!)}{n^2+1}$ jako $\left(\lim\frac n{n^2+1}\right)\cdot\left(\lim\,\sin(n!)\right)$ . Pak je to rovno "nula krát nějaké konečné číslo", což je nula. To, že jsme takto mohli limitu rozdělit na součin dvou limit, bych v tomto vlákně nechal pouze v této intuitivní podobě.

pavelk · 24. 03. 2010 16:23

↑ musixx:
Ted uz to je pro me srozumitelne :)
Moc krat dekuji, nejen vam ale vsem, kteri meli se mnou to strpeni, uz jsem si poridil tlustou bifli k analyze, tak snad neco pomuze a nebudu vas tady tolik otravovat.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2010 15:04

Limita (kontrola)

#2 23. 03. 2010 15:13

Re: Limita (kontrola)

#3 23. 03. 2010 15:44 — Editoval Rumburak (23. 03. 2010 15:45)

Re: Limita (kontrola)

#4 23. 03. 2010 15:51

Re: Limita (kontrola)

#5 23. 03. 2010 15:51 — Editoval musixx (23. 03. 2010 15:57)

Re: Limita (kontrola)

#6 23. 03. 2010 15:54

Re: Limita (kontrola)

#7 23. 03. 2010 16:34

Re: Limita (kontrola)

#8 23. 03. 2010 16:36

Re: Limita (kontrola)

#9 23. 03. 2010 17:08

Re: Limita (kontrola)

#10 23. 03. 2010 18:24

Re: Limita (kontrola)

#11 23. 03. 2010 19:52

Re: Limita (kontrola)

#12 23. 03. 2010 20:10

Re: Limita (kontrola)

#13 23. 03. 2010 20:13

Re: Limita (kontrola)

#14 23. 03. 2010 20:29

Re: Limita (kontrola)

#15 24. 03. 2010 15:11 — Editoval pavelk (24. 03. 2010 15:23)

Re: Limita (kontrola)

#16 24. 03. 2010 15:24 — Editoval musixx (24. 03. 2010 15:25)

Re: Limita (kontrola)

#17 24. 03. 2010 15:42 — Editoval pavelk (24. 03. 2010 15:52)

Re: Limita (kontrola)

#18 24. 03. 2010 16:12

Re: Limita (kontrola)

#19 24. 03. 2010 16:23

Re: Limita (kontrola)

Zápatí