Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 25. 03. 2010 06:31
body v rovině
Ahoj, prosím o radu u tohoto příkladu:
Dokažte, že body (1, 0, 9), (2,−3, 6), (0,−3, 0) a (−2, 1, 2) leží v jedné rovině.
Já jsem to počítala jako smíšený součin vektorů:
A = (1, 0, 9),
B = (2,−3, 6),
C = (0,−3, 0)
D = (−2, 1, 2)
z toho jsem určila vektor:
u = AB = B-A = (1, -3, -3)
v = AC = C-A = (-1, -3, -9)
w = AD = D-A = (-3, 1, -7)
a provedla jsem soušin u . ( v x w ) >> po dosazení a vypočítání mi vyšla 0 a to znamená, že vektory jsou komplanární a leží v jedné rovině.
Spolužačky to ale řešily pomocí matic a jedné spolužačce vyšlo, že neleží v rovině .... a prostě nevíme jak by to mělo být správně. Máme to do korespondenčního úkolu, takže nemáme ani možnost zjistit jak by to mělo být. Proto vás prosím o radu a o pomoc.
Děkuji.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) musixx)
#2 25. 03. 2010 09:07
#4 25. 03. 2010 10:45 — Editoval pietro (25. 03. 2010 10:45)
Re: body v rovině
↑ Katarina: rozne postupy:
1. Tvoj postup
Nulová hodnota zmiešaného súčinu znamená, že príslušné vektory sú komplanárne. ..
2. postup pomocou V =...determinantu =pietro
3. vypocitat rovnicu roviny..moznych rovin ....a dosadit tam ostatne body ci vyhovuju..pracny ale ide
4. pomocou len matice...nepoznam :( pozdravujem
Offline
#5 25. 03. 2010 10:59
Re: body v rovině
↑ Katarina:
Tvůj postup je správný: Vektor z = v x w je kolmý k vektorům v, w - ty jsou zřejmě nezávislé, proto z <> 0.
Z rovnosti u . (v x w) = u.z = 0 plyne, že vektor z je kolmý k vektoru u.
Nenulový vektor z je tedy kolmý ke každému z vektorů u, v, w. Odud plyne, že vektory u, v, w jsou lineárně závislé (pokud by byly nezávislé,
musely by pak být nezávislé také vektory u, v, w, z, což je ve sporu s dimensí prostoru A_3, která je rovna pouze 3).
Základní postup, jak zkoumat lin. závislost resp. nezávislost vektorů, je ovšem ten, že z vektorů sestavíme matici a zkoumáme její hodnost.
Je-li hodnost matice stejná jako počet vektorů, jsou nezávislé, je-li menší, jsou závislé (větší být nemůže).
Offline
#6 25. 03. 2010 11:01 — Editoval musixx (25. 03. 2010 11:04)
Re: body v rovině
Počítání "tou maticí" se asi myslí to, že také stačí dát spočítané vektory u, v, a w do matice (ať už do sloupců nebo řádků, to je jedno), udělat na ní Gaussovu eliminaci a podívat se, jestli vypadl nějaký řádek. Pokud ano, pak body leží v jedné rovině (neboť tři vektory jimi generované v jedné rovině leží). To, že alespoň jeden řádek vypadne, je ekvivalentní tomu, že příslušný determinant je nulový (tam ale ztrácíme informaci, leží-li pouze v jedné rovině, nebo dokonce na jedné přímce -- příjde na to, kolik řádků vypadne).
Suma sumárum se tedy pro tuto úlohu stačí podívat na determinant
.
No a protože je nulový, tak zadané čtyři body leží v jedné rovině.
PS. Zmíněný smíšený součin je také docela rychlá metoda: ideově se testuje, je-li vektor kolmý k v i w kolmý také k u. Je třeba si ale pamatovat jakýsi "vzorec", resp. mít rozmyšleno, jestli má na výsledek vliv pořadí vektorů ve smíšeném součinu. Ale to skutečně jen tak na okraj. Osobně bych pro tyto úlohy viděl jako vhodné podívat se na mnou ukázaný determinant. Přijde mi to jako nejpřirozenější přístup.
EDIT: Vidím, že jsme s Rumburakem odpovídali ve stejnou dobu a také ve stejném duchu.
Offline