Matematické Fórum

ajucha · 25. 03. 2010 16:28

Potřebovala bych poradit, jak mám dokázat, že násobení matic je asociativní? Vím,že to tak je, ale neumím to dokázat:(
Neporadil by jste mi někdo prosím? :)

musixx · 25. 03. 2010 21:48 — Editoval musixx (25. 03. 2010 22:23)

Asociativita násobení matic plyne z asociativity násobení prvků matice, komutativity sčítání prvků matice a distributivních zákonů pro prvky matice. Přímo se ale dá dokázat snad jednom docela pracným rozepsáním. Pokud to chceš udělat opravdu obecně, tak se to neobejde bez nějakých sum a chce to asi trošku praxe.

Je třeba si uvědomit, jak vypadá pomocí sumy zapsaný prvek součinu matic, komaptibilní násobení předpokládám, tedy nepíšu, odkud kam jdou sumační indexy, a samy ty sumační indexy je třeba volit šikovně, aby řešení bylo hezky vidět:

$A=\left((a_{ij})\cdot(b_{ij})\right)\cdot(c_{ij})=\nl \left(\sum_{x,y}a_{ix}b_{yj}\right)\cdot(c_{ij})=\nl \left(\sum_{u,v}\left(\left(\sum_{x,y}a_{ix}b_{yu}\right)\cdot c_{vj}\right)\right)$

Naopak

$B=(a_{ij})\cdot\left((b_{ij})\cdot(c_{ij})\right)=\nl (a_{ij})\cdot\left(\sum_{u,v}b_{iu}c_{vj}\right)=\nl \left(\sum_{x,y}a_{ix}\cdot\left(\sum_{u,v}b_{yu}c_{vj}\right)\right)$

Teď bude hezky vidět využití těch výše zmíněných předpokladů: Díky distributivním zákonům mohu psát
$A=\left(\sum_{u,v}\sum_{x,y}(a_{ix}b_{yu})\cdot c_{vj}\right)$
a
$B=\left(\sum_{x,y}\sum_{u,v}a_{ix}\cdot(b_{yu}c_{vj})\right)$ .

Díky asociativitě násobení prvků matic mohu psát
$A=\left(\sum_{u,v}\sum_{x,y}a_{ix}b_{yu}c_{vj}\right)$
a
$B=\left(\sum_{x,y}\sum_{u,v}a_{ix}b_{yu}c_{vj}\right)$ .

No a díky komutativitě sčítání prvků matic mohu přehodit sumy a psát třeba
$B=\left(\sum_{u,v}\sum_{x,y}a_{ix}b_{yu}c_{vj}\right)$ ,

tedy chtěné $A=B$ .

Grein · 26. 03. 2010 14:18

Napsal jsi to docela slozite a pritom staci vedet, ze kdyz mas nejakou matici ABC, tak (AB)C=A(BC), tomuhle snad rozumi kazdej :-)

musixx · 26. 03. 2010 14:36 — Editoval musixx (26. 03. 2010 14:41)

↑ Grein: Skvělé vysvětlení. Jak mi jen mohla tato banalita uniknout. :-)

EDIT pro případ, že bys mou předchozí větu bral doslova: Že by proto, že původní dotaz nebyl "co je to asociativita násobení matic", ale "proč (a kde) je násobení matic asociativní"?

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2010 16:28

asociativita matic

#2 25. 03. 2010 21:48 — Editoval musixx (25. 03. 2010 22:23)

Re: asociativita matic

#3 26. 03. 2010 14:18

Re: asociativita matic

#4 26. 03. 2010 14:36 — Editoval musixx (26. 03. 2010 14:41)

Re: asociativita matic

Zápatí