Matematické Fórum

easy · 26. 03. 2010 22:30

Dobrý den,

zase po delší době zdravím uživatele tohoto fóra. Při práci na na větším domácím úkolu jsem narazil na zajímavej fakt že pokud máme funcki Ax +By = C kde hodnoty a,b,c jsou následující čísla z libovolné aritmetické sekvence, funkce bude vždy procházet bodem [-1 ; 2].

Ilustruji na příkladu. x+2y=3 bude procházet bodem [-1 ; 2], stejně tak 2x-y=-4.

V připadě že mám soustavu 2 rovnic o 2 neznámých kde hodnoty a,b,c jsou následující čísla z libovolné sekvence, bod kde se protnou bude samozřejmě [-1 ; 2].

Zpět k otázce, potřeboval bych najít způsob jak toto dokázat pro všechny rovnice ve stejné podobě. Byl jsem schopný dokázat tento fakt dosazením x=-1 a y=2 do obecných rovnic ale tato metoda není jako důkaz dostatečná.

Věděl by někdo o možném způsobu jak se dobrat bodu [-1 ;2] z obecných rovnic?

Děkuji, easy.

zdenek1 · 26. 03. 2010 23:03

↑ easy:
$ax+(a+d)y=a+2d$
$y=\frac{a(1-x)+2d}{a+d}$ pro $x=-1$
$y=\frac{2a+2d}{a+d}=2$ $a+d\neq0$

easy · 26. 03. 2010 23:36

Jenže v tomto případě využívám bod který znám. Potřebuji to dokázat aniž bych šel pozpátku. Potřebuju zjistit daný bod z obecných rovnic.

musixx · 27. 03. 2010 10:41

↑ easy: Myslím, že rozumím tvé námitce. Asi se ti nelíbí, že ↑ zdenek1: vyšel z x=-1. No tak zůstaňme jen u jím vypočítaného $y=\frac{a(1-x)+2d}{a+d}$ . Pro které $x$ toto číslo nezávisí na $a$ a $d$ ? No jedině pro $1-x=2$ , odkud $x=-1$ -- teď jsme to dopředu vědět nemuseli, ale vypočítali to.

zdenek1 · 27. 03. 2010 11:00

↑ easy:
↑ musixx: mě trochu předběhl, ale obecně:
Máme dvě libovolné přímky s danou vlastností:
$ax+(a+d)y=a+2d$
$bx+(b+e)y=b+2e$ vypočítáme průsečík

$y(ab+bd-ab-ae)=2(bd-ae)$
$y(bd-ae)=2(bd-ae)$
pokud $bd-ae\neq0$ , přímka prochází bodem, jehož $y$ -ová souřadnice je $2$
pokud $bd-ae=0$ , $y\in\mathbb R$ , a proto přímka prochází bodem, jehož $y$ -ová souřadnice je $2$

Nyní dopočítáš $x$ a je to.