Matematické Fórum

peto1310 · 28. 03. 2010 18:31

Caute, nevedeli by ste mi niekto poradit, ako pocitat takyto typ rovnic ? Dik
$\sqrt5 cos(\frac{\pi}{\sqrt{x}} \sqrt{15x - 6x^2 - x^3}) - sqrt5 sin(\frac{\pi}{x} \sqrt{15x^2 - 6x^3 - x^4}) = sqrt10$

peto1310 · 28. 03. 2010 19:47

Nikto nic ?

jelena · 28. 03. 2010 19:53

↑ peto1310:

Zdravím,

argumenty cos(...) a sin(...) jsou stejné (za předpokladu, že ohovoříme podmínky úprav), proto můžeme substituci: $(\frac{\pi}{\sqrt{x}} \sqrt{15x - 6x^2 - x^3})=(\frac{\pi}{x} \sqrt{15x^2 - 6x^3 - x^4})=y$

Pomůže?

zdenek1

↑ peto1310:
$\sqrt5 cos(\frac{\pi}{\sqrt{x}} \sqrt{15x - 6x^2 - x^3}) - sqrt5 sin(\frac{\pi}{x} \sqrt{15x^2 - 6x^3 - x^4}) = sqrt10$

$\frac{\pi}{\sqrt{x}} \sqrt{15x - 6x^2 - x^3}=t$
$\sqrt5\cos t-\sqrt5\sin t=\sqrt{10}$
$\frac{\sqrt2}2\cos t-\frac{\sqrt2}2\sin t=1$
$\cos\frac\pi4\cos t-\sin\frac\pi4\sin t=1$
$\cos(\frac\pi4+t)=1$
$t=-\frac\pi4+2k\pi$

a budou tam nějaký podmínky pro $x$

peto1310 · 28. 03. 2010 21:29

↑ zdenek1:
Preco substitucia, ved zatvorky nie su rovnake...
Ak by sa dalo, tak by som poprosil detailne rozpisanie prikladu, dik

jelena · 28. 03. 2010 22:54

↑ peto1310:

Úpravy se daji provést, ovšem je třeba věnovat pozornost podminkam úprav a definičním oborům:

$\frac{\pi}{\sqrt{x}} \sqrt{15x - 6x^2 - x^3}=\frac{\pi}{x} \sqrt{x(15x - 6x^2 - x^3)}=y$

${\pi}\sqrt{\frac{15x - 6x^2 - x^3}{x}}={\pi}\sqrt{\frac{x(15x - 6x^2 - x^3)}{x^2}}=y$

Je to v pořádku?

peto1310

↑ jelena:
Rozpisu prveho clena rozumiem, tam sme sa len zbavili odmocniny z menovatela a nasledne takto upravili, je to tak ?
Ale tomu druhemu rozpisu nerozumiem, vyzera to tak, ze je to nasobene $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ , ale nechapem preco

peto1310

Vlastne som sa pomylil, uz som zabudol ako vyzera ta druha zatvorka, tak radsej este raz:
$(\frac{\pi}{x} \sqrt{15x^2 - 6x^3 - x^4}) = \frac{\pi}{x} \sqrt{x(15x - 6x^2 -x^3)} = {\pi}\sqrt{\frac{x(15x - 6x^2 - x^3)}{x^2}}$
A to nie je rovnaky tvar ako predchadzajuci clen, ci som to zle upravil ?

Vlastne dobre, uz rozumiem, x sa odmocni a je to to iste, tak diki, trochu trvalo kym mi to doslo, skusim to dopocitat dalej.

peto1310 · 29. 03. 2010 09:12

↑ zdenek1:

Az teraz som pochopil ako si substituoval, ale ked mas: $\sqrt5\cos t-\sqrt5\sin t=\sqrt{10}$ a potom si dostal $\frac{\sqrt2}2\cos t-\frac{\sqrt2}2\sin t=1$ ... Ako si dostal na lavej strane tie $\frac{sqrt2}{2}$ ? Ked na pravej strane mas $sqrt{10}$ a potom uz len 1ku, tak si to nedelil nahodou $sqrt{10}$ ? Ak ano, potom by malo byt na lavej strane $\frac{1}{\sqrt2}$
Alebo sa opat mylim ?

jelena · 29. 03. 2010 09:21

↑ peto1310: kolega Zdeněk dělil $sqrt{10}$ a pak usměrnil zlomek $\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$ . V pořádku?

peto1310 · 29. 03. 2010 14:17

↑ jelena:
Ahaa, jasne, rozumiem, ale zase nerozumiem tym dalsim krokom, napr. toto $\cos\frac\pi4\cos t-\sin\frac\pi4\sin t=1$ , to je podla nejakych vzorcov, alebo co ?

jelena · 29. 03. 2010 14:58 — Editoval jelena (29. 03. 2010 15:15)

↑ peto1310:

Kolega Zdeněk používá tuto metodu - místo hodnoty sin nebo cos (u znamých tabulkových úhlů) dosazuje "zpět" sin nebo cos (uhlu) a dochází k použití goniometrických vzorců.

Já ve stejné situaci doporučuji převod na poloviční úhel (tedy sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2) a podobně pro cos(x)). Myslím, že ani jeden z nás nedoporučí umocnění levé a pravé strany, jelikož toto by byla úprava neekvivalentní.

EDIT: v tomto konkrétním případě bych doporučila umocnění levé a pravé strany - přehlidla jsem totiž, že v rovnici po úpravě je napravo "odmocnina ze 2". Ovšem je to úprava neekvivalentní a vyžaduje zkoušku.

musixx · 29. 03. 2010 15:20

↑ jelena: Jen bych dodal odkaz s možná lehce neobvyklým přístupem, který nepřevádí na poloviční úhel (ve finále tedy zbytečně nepůlí periodu a nevětví řešení) a který dovoluje sečíst i to, co s jistě elegantním přístupem od Zdeňka jen tak sečíst nejde.

Rumburak · 29. 03. 2010 15:51

↑ zdenek1:

Mám za to, že tam je překlep - úpravou rovnice
$\cos\frac\pi4\cos t-\sin\frac\pi4\sin t=1$

obdržíme

$\cos(\frac\pi4 \,|\overline{\underline{+}}| \, t)=1$ .

musixx · 29. 03. 2010 16:05 — Editoval musixx (29. 03. 2010 16:05)

↑ Rumburak: Dobrý postřeh a pečlivost! Jen poradím do budoucna docela hezky použitelný \fbox: $\cos(\frac\pi4\,\boxed{+}\,t)=1$

Rumburak · 29. 03. 2010 16:38

↑ musixx:
Děkuji za tip. Těch fint v TeXu je docela dost, k jejich systematickému studiu jsem se z časových důvodů zatím neodhodlal.

peto1310 · 29. 03. 2010 17:06

Prilis zlotite pre mna, nerozpisal by to niekto od tohto kroku az do konca ? Dik. $\cos\frac\pi4\cos t-\sin\frac\pi4\sin t=1$

zdenek1 · 29. 03. 2010 17:43

↑ Rumburak:
opraveno

jelena · 29. 03. 2010 18:28

Děkuji kolegům za doporučení.

↑ peto1310:

Zkus zůstat tady:

$\cos t-\sin t=\sqrt{2}$

Možnosti:
1) varianta, kterou nabízí kolega Zdeněk s použitím goniometrického vzorce pro součet (rozdíl) úhlů,
$\cos \left(\alpha \pm \beta\right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,\!$

ovšem jdeme z pravé strany nalevo. Jinak u kolegy je všechno přehledně rosepsáno.

2) umocnit levou a pravou stranu (^2) - neekvivalentní úprava, bude vyžadovat zkoušku, ale co do úpravy by neměl být problém.

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2010 18:31

rovnica

#2 28. 03. 2010 19:47

Re: rovnica

#3 28. 03. 2010 19:53

Re: rovnica

#4 28. 03. 2010 19:58 — Editoval zdenek1 (29. 03. 2010 17:42)

Re: rovnica

#5 28. 03. 2010 21:29

Re: rovnica

#6 28. 03. 2010 22:54

Re: rovnica

#7 29. 03. 2010 08:24 — Editoval peto1310 (29. 03. 2010 08:25)

Re: rovnica

#8 29. 03. 2010 08:38 — Editoval peto1310 (29. 03. 2010 08:46)

Re: rovnica

#9 29. 03. 2010 09:12

Re: rovnica

#10 29. 03. 2010 09:21

Re: rovnica

#11 29. 03. 2010 14:17

Re: rovnica

#12 29. 03. 2010 14:58 — Editoval jelena (29. 03. 2010 15:15)

Re: rovnica

#13 29. 03. 2010 15:20

Re: rovnica

#14 29. 03. 2010 15:51

Re: rovnica

#15 29. 03. 2010 16:05 — Editoval musixx (29. 03. 2010 16:05)

Re: rovnica

#16 29. 03. 2010 16:38

Re: rovnica

#17 29. 03. 2010 17:06

Re: rovnica

#18 29. 03. 2010 17:43

Re: rovnica

#19 29. 03. 2010 18:28

Re: rovnica

Zápatí