Matematické Fórum

Yamsick · 28. 03. 2010 21:55

Ahoj, potřebovala bych pomoci s tímto příkladem:

Je dána hyperbola x^2 − 9y^2 = 1 a bod M [3, 1]. a) Určete velikosti poloos hyperboly. b) Zjistěte polohu bodu M vzhledem k hyperbole. c) Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem M a mají s hyperbolou právě jeden společný bod.

Vypočítala jsem a, zjistila jsem, že bod M leží mimo hyperbolu, ale vůbec nevím, jak se dostat k té rovnici tečny, když M není bodem dotyku.
Jinak jsem vypočítala další přímku (rovnoběžná k jedné z asymptot procházející bodem M), ale ta tečna mi prostě nejde.

Díky za pomoc.

Yamsick

jelena · 29. 03. 2010 00:00

↑ Yamsick:

Zdravím,

v zimním období bylo takových úloh hodně - jeden z možných postupů. Případně se poptej, co nebude jasno.

Yamsick · 29. 03. 2010 07:55

↑ jelena:

Aha, a můžu se zeptat, jak má zhruba vypadat řešení?

jelena · 29. 03. 2010 08:00

↑ Yamsick:

zhruba tak, jak píšeme v odkazu v příspěvku 4 a následná úprava podle příspěvku 8 (kolega Zdeněk) nebo 9. Co se tyče postupu řešení, je to jedno, který typ kuželosečky.

Yamsick · 29. 03. 2010 08:08

No, dělala jsem to podle Vašeho postupu a došla jsem k tomuto:

z^2 + 6z - 9(kz-1)^2 + 8= 0

ale ted nevim co s tim, jak mam zjistit diskriminant...

jelena · 29. 03. 2010 08:48 — Editoval jelena (29. 03. 2010 09:06)

↑ Yamsick:

otevrit závorky, posbírat koeficienty u stejných mocnin z:

$z^2+6z-9(kz-1)^2+8=0$

$z^2+6z-9k^2z^2+18kz-9+8=0$

$(1-9k^2)z^2+6(1+3k)z-1=0$

a diskriminant, který má být nulový:

$D=6^2(1+3k)^2+4(1-9k^2)=4(1+3k)(10-24k)=0$

Je to v pořádku (za přesnost úprav v tuto hodinu neručím)?

Cheop · 29. 03. 2010 08:53 — Editoval Cheop (29. 03. 2010 10:22)

↑ Yamsick:
Obrázek:

Rovnice hyperboly:
$x^2-9y^2=1$

Rovnice tečen bude:
$y=kx+q$ dosadíme bod M(3; 1)
$1=3k+q\nlq=1-3k\nly=kx-3k+1$
$y^2=k^2x^2-6k^2x+2kx+9k^2-6k+1\nl9y^2=9k^2x^2-54k^2x+18kx+81k^2-54k+9$ dosadíme do rovnice hyperboly a dostaneme:
$x^2-9k^2x^2+54k^2x-18kx-81k^2+54k-10=0\nlx^2(1-9k^2)+x(54k^2-18k)-81k^2+54k-10=0$ aby to byla tečna, pak diskriminant této kvadratické rovnice nusí být nula (0) tedy:
$(54k^2-18k)^2-4(1-9k^2)(54k-81k^2-10)=0$ - úpravou dospějeme ke kvadratické rovnici:
$36k^2-27k+5=0\nlk_1=\frac{5}{12}\nlk_2=\frac 13$

Rovnice tečen bude:
pro $k=\frac{5}{12}$
$y=\frac{5x}{12}-\frac{3\cdot 5}{12}+1\nl5x-12y-3=0$
Pro $k=\frac 13$
$y=\frac x3-3\cdot\frac 13+1\nlx-3y=0$ toto je asymptota.

Rovnice tečny hyperboly procházející bodem M je: $5x-12y-3=0$ viz obrázek