Matematické Fórum

Pavel · 02. 02. 2009 14:44

Často se tady na foru sčítají nekonečné řady kladných racionálních čísel. Protože řad, jejichž členy jsou čísla iracionální, je tady o poznání méně, přicházím zde s docela elegantní řadou:

$\sum_{n=1}^\infty{\Large\frac{\sin n}{n}}$

Najděte součet této řady.

Marian · 02. 02. 2009 17:08

↑ Pavel:

Nebudu okrádat ostatní o tu radost, najít si součet této nekonečné řady. Snad bych jen doplnil, že by mohli někteří poctivci ukázat ještě i její konvergenci.

Pavel · 04. 02. 2009 12:55 — Editoval Pavel (07. 02. 2009 10:07)

Nápověda 7.2.2009:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek

Řešení Zobrazit/skrýt!

Marian · 09. 02. 2009 22:19

Znám stejné řešení jako BrozekP. Hezká nekonečná řada. Když jsem ji kdysi viděl poprvé, nevěřil jsem tomu, že se dá sečíst. Už mám připravenou březnovou nekonečnou řadu - snad to do března vydržím.
:-)

Pavel · 10. 02. 2009 13:03 — Editoval Pavel (10. 02. 2009 13:03)

↑ BrozekP:

Ani autor tohoto příspěvků nezná jinou metodu než pomocí komplexních čísel. Kdysi jsem viděl postup, jak spočítat integrál

$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,\text{d}x$

na dva řádky pomocí La Placeovy transformace. Kdo ví, možná by to šlo použít i na nekoečnou řadu.

Marian · 16. 02. 2009 08:19

↑ Pavel:

Není mi zatím jasné, jak by se to dalo spočítat pomocí Laplaceovy transformace. Takový integrál se počítá pomocí teorie residuí. Ale možná, že jsem něco mohl přehlédnout.

Pavel · 16. 02. 2009 16:56 — Editoval Pavel (23. 02. 2009 17:19)

↑ Marian:

Ve svých poznámkách z přednášek to mám na dva řádky :-), tady si s tím asi nevystačím. Protože poznámky nemám k dispozici, ponořil jsem se do Laplaceovy transformace a integrál jsem spočítal takto:

I. Nejdříve vypíšu vztahy, které jsem používal. Jsou dostupné v kterékoliv knize obsahující základy Laplaceovy transformace $\mathcal L\{f(t)\}(s)=\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}\,\text d\tau$ :

1. $\mathcal L\{\sin \omega t\}(s)=\frac{\omega}{\omega^2+s^2}$
2. $\mathcal L\{\frac{f(t)}{t}\}(s)=\int_s^{\infty}\mathcal L\{f(t)\}(\tau)\,\text d\tau$
3. $\mathcal L\{\int_0^t\frac{f(t)}{t}\,\text dt\}(s)=\frac 1s\,\mathcal L\{f(t)\}(s)$
4. $\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to 0}s\cdot\mathcal L\{f(t)\}(s)$

II. Nyní je použiju v pořadí 4., 3., 2., 1.

$\int_0^{\infty}\frac{\sin\tau}{\tau}\,\text d\tau=\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac{\sin\tau}{\tau}\,\text d\tau=\lim_{s\to 0}s\cdot\mathcal L\{\int_0^t\frac{\sin\tau}{\tau}\,\text d\tau\}(s)=\lim_{s\to 0}s\cdot\frac 1s\cdot\mathcal L\{\frac{\sin t}{t}\}(s)=\lim_{s\to 0}\mathcal L\{\frac{\sin t}{t}\}(s)=\lim_{s\to 0}\int_s^{\infty}\mathcal L\{\sin t\}(\tau)\,\text d\tau=\nl\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\lim_{s\to 0}\int_s^{\infty}\frac 1{1+\tau^2}\,\text d\tau=\lim_{s\to 0}[\arctan \tau]_s^\infty=\frac{\pi}{2}\,.$

Doteď si pamatuji svůj úžas nad tím, že něco tak vzdáleného je možné počítat Laplaceovou transformací :-)

Teď jak na to koukám, tak by se na tu nekonečnou sumu spíše hodila Z-transformace. Se znalostí zde vypočítaného integrálu a podobných rovností pro Z-transformaci by ta suma možná šla vypočítat.

jendula11

a co třeba taylorova řada

$\int_{0}^{x}\frac{sin(t)}{t}dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}$

lukaszh · 20. 02. 2009 18:18

↑ jendula11:
Neviem čo máš presne na mysli, ale primitívna funkcia k
$f(x)=\frac{\sin x}{x}$
nie je tá istá. Nemôžeš preto písať, že
$\frac{\sin x}{x}=\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}\,\rm{d}t$
Platilo by to pre jednoduchšiu funkciu takto:
$x^2=\int_{0}^{x}2t\,\rm{d}t$
Ak som teda správne pochopil, čo myslíš.

lukaszh · 30. 03. 2010 19:35

Pri blúdení internetom mi svitlo, že pokiaľ rozvinieme funkciu f(x)=x na intervale (0,2pi) do Fourierovho radu dostaneme
$x=\pi-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}\cdot\sin(nx)$
Stačí vyšetriť konvergenciu radu v bode x=1 a máme výsledok :-)

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2009 14:44

Únorová nekonečná řada

#2 02. 02. 2009 17:08

Re: Únorová nekonečná řada

#3 04. 02. 2009 12:55 — Editoval Pavel (07. 02. 2009 10:07)

Re: Únorová nekonečná řada

#4 08. 02. 2009 00:32 — Editoval BrozekP (16. 12. 2010 20:00)

Re: Únorová nekonečná řada

#5 09. 02. 2009 22:19

Re: Únorová nekonečná řada

#6 10. 02. 2009 13:03 — Editoval Pavel (10. 02. 2009 13:03)

Re: Únorová nekonečná řada

#7 16. 02. 2009 08:19

Re: Únorová nekonečná řada

#8 16. 02. 2009 16:56 — Editoval Pavel (23. 02. 2009 17:19)

Re: Únorová nekonečná řada

#9 20. 02. 2009 17:48 — Editoval jendula11 (20. 02. 2009 17:49)

Re: Únorová nekonečná řada

#10 20. 02. 2009 18:18

Re: Únorová nekonečná řada

#11 30. 03. 2010 19:35

Re: Únorová nekonečná řada

Zápatí