Matematické Fórum

Emil21 · 31. 03. 2010 10:23

Zdravím, mám problém s těmito příklady, kdybyste mi pomohli, byl bych vděčen.

y= a(1 - cost), x = a(t - sint), pro t(0,2pí)

a

y^2= 2x+1, x-y-1=0

Rumburak

K 1. úloze, která mi připadá obtížnější. Předpokládejme, že a > 0.

Funkce x = x(t) = a(t - sint) je prostá (rostoucí) na (0,2pí) a zobrazuje ho na (0, 2*a*pí) . Inversní funkci pišme ve tvaru t = t(x).
Funkce y = y(t) = a(1 - cost) nabývá na (0,2pí) pouze kladných hodnot, y(0+) = y(2pi-) = 0 (míním tím jednostranné limity funkce y
v krajních bodech intervalu (0,2pí) ).

Chceme vypočítat obsah S obrazce ohraničeného úsečkou [0, 2pi] na ose x a odpovídajícím obloukem grafu funkce f(x) = y(t(x)).
Podle známého vzorce bude $S =\int_{0}^{2a\pi}f(x)\text{d} x = \int_{0}^{2a\pi}y(t(x)).\text{d} x$ , substitucí x = x(t) v integrálu obdržíme $t(x$t$) = t$ ,
tedy $f(x) = y$t(x)$ = y$t(x\(t$)\) = y(t)$ a
$S =\int_{0}^{2\pi}y(t) x'(t)\text{d} t$ ,
dál se to už dopočítá celkem snadno.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2010 10:23

Výpočet plochy - integrály

#2 31. 03. 2010 11:35 — Editoval Rumburak (31. 03. 2010 14:40)

Re: Výpočet plochy - integrály

Zápatí