Matematické Fórum

Andres · 31. 03. 2010 16:05

Y=(X^4)-(3X^2)-10X+11 rozviňte podle mocnin mnohočlenu (X-2).

Víte někdo co se po mně vůbec chce?

Děkuji

Stýv · 31. 03. 2010 16:23

řekl bych, že napsat y=a*(x-2)^4+b*(x-2)^3+... (a najít příslušný koeficienty)

Pavel · 31. 03. 2010 16:30 — Editoval Pavel (31. 03. 2010 16:32)

Buď použiješ Taylorův rozvoj, což se na střední škole nepředpokládá, nebo budeš několikrát dělit mnohočlen Y výrazem x-2. Tzn.

$(x^4-3x^2-10x+11):(x-2)=x^3+2x^2+x-8-\frac{5}{x-2}\qquad\Rightarrow\qquad x^4-3x^2-10x+11=(x^3+2x^2+x-8)(x-2)-5\qquad\text{\bf{A1}}$

Totéž uděláš s mnohočlenem $x^3+2x^2+x-8$

$(x^3+2x^2+x-8):(x-2)=x^2+4x+9+\frac{10}{x-2}\qquad\Rightarrow\qquad x^3+2x^2+x-8=(x^2+4x+9)(x-2)+10\qquad\text{\bf A2}$

Postup opakuj s mnohočlenem $x^2+4x+9$ .

$x^2+4x+9=(x+6)(x-2)+21\qquad\text{\bf A3}$

a znovu s $x+6$

$x+6=1\cdot(x-2)+8\qquad\text{\bf A4}$

Nyní dosaď A4 do A3

$x^2+4x+9=[1\cdot(x-2)+8](x-2)+21=(x-2)^2+8(x-2)+21$

Tuto rovnost pak dosaď do A2, uprav a nakonec výsledek dosaď do A1 a ještě jednou uprav. To je vše.

Andres · 31. 03. 2010 17:06

A mohu poprosit o řešení pomocí Taylorova rozvoje? Jak by to vypadalo?

Pavel · 31. 03. 2010 18:34 — Editoval Pavel (31. 03. 2010 19:08)

↑ Andres:

Nechť $P(x)=x^4-3x^2-10x+11$ . Podle Taylorovy věty lze psát

$P(x)=P(2)+\frac{P'(2)}{1!}\,(x-2)+\frac{P''(2)}{2!}\,(x-2)^2+\frac{P'''(2)}{3!}\,(x-2)^3+\frac{P^{(4)}(2)}{4!}\,(x-2)^4.$

Derivace jsou jednoduché

$P'(x)=4x^3-6x-10,\nl P''(x)=12x^2-6,\nl P'''(x)=24x,\nl P^{(4)}(x)=24.$

Nyní stačí dosadit $x=2$ .

Pavel Brožek · 31. 03. 2010 18:37

↑ Andres:

Ještě jedna možnost - udělat si substituci $t=x-2$ , tedy $x=t+2$ . Polynom v t pak upravím (rozepíšu mocniny t+2 a posčítám), nakonec zpět dosadím za t a mám hledaný rozvoj :-).

Andres · 31. 03. 2010 19:05

↑ Pavel:

Proč derivace 24x je 12? nebo mi něco uniklo? a to že X = 2 zjistím z čeho? Jsem trošku pomalejší tak se omlouvám :-)

Pavel · 31. 03. 2010 19:08

↑ Andres:

Protože jsem se přepsal :-) Už to opravuji. Za bod $a$ si můžeš dosadit v tomto případě kterékoliv reálné číslo. A ty potřebuješ rozvoj podle mocnin výrazu $(x-2)$ , proto dosazuješ za $a$ v Taylorově rozvoji, tzn. za $x$ v derivaci číslo 2.

Andres · 31. 03. 2010 19:31

↑ Pavel:
Ooooo díky Ti mocný! :-)

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2010 16:05

Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

#2 31. 03. 2010 16:23

Re: Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

#3 31. 03. 2010 16:30 — Editoval Pavel (31. 03. 2010 16:32)

Re: Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

#4 31. 03. 2010 17:06

Re: Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

#5 31. 03. 2010 18:34 — Editoval Pavel (31. 03. 2010 19:08)

Re: Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

#6 31. 03. 2010 18:37

Re: Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

#7 31. 03. 2010 19:05

Re: Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

#8 31. 03. 2010 19:08

Re: Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

#9 31. 03. 2010 19:31

Re: Rozviňte podle mocnin mnohočlenu

Zápatí