Matematické Fórum

Romajzl · 31. 03. 2010 22:39

Jsem bezradná. Toto se prostě nedá naučit. Nevím vůbec jak s takovými příklady hnout. Např. tento příklad:

4.19 Kolika způsoby lze posadit pět chlapců do lavice o pěti místech,
jestliže dva z nich nechtějí sedět vedle sebe?

Usoudila jsem, že vzhledem k tomu, že dva chlapci nechtějí sedět vedle sebe, záleží na pořadí a tudíž se jedná o variace. A dále jsem z textu vyvodila, že to budou variace s opakováním. Tam se užívá vzorec
$V_x(n)=n^x$

Jenže co do něj dosadit? Dala bych 5 na pátou, ale jak tam zaplést ty dva, co nechtějí sedět vedle sebe?

Olin · 31. 03. 2010 23:08 — Editoval Olin (31. 03. 2010 23:08)

Počet rozesazení, kdy nebudou sedět vedle sebe = počet všech rozesazení - počet těch, kde sedí vedle sebe.

Počet všech rozesazení je prostě 5!.

Počet těch, kdy sedí vedle sebe, se asi nejlépe počítá "trikem" - ty dva hochy zaměníme za jednoho a budeme všechny rozesazovat jen do čtyř míst (tam, kde si sedne ten dvojčlověk, si sednou ti dva). Ještě je ale třeba si uvědomit, že může v této dvojici sedět jednou jeden vlevo a podruhé vpravo, takže výsledek toho rozesazování s dvojčlověkem se musí ještě vynásobit dvěma.

czenda · 31. 03. 2010 23:18 — Editoval czenda (31. 03. 2010 23:19)

Jojo, taky bych to tak videl. -> $2P (4)$

Romajzl · 31. 03. 2010 23:19

↑ Olin:

Rozebral jsi to tu pěkně, ale moc chytrá z toho nejsem. Ta kombinatorika je pro mě prostě španělská vesnice. Jenom jsem si uvědomila, že jsem použila špatný vzorec, neboť x=n a jedná se tedy o permutaci a tedy n!, což je 120. Ale dále postupovat ve výpočtu jak? Můžeš zde, prosím, místo slovního popisu napsat, jak zjistím výsledek početně? Má vyjít 72.

Romajzl · 31. 03. 2010 23:25

↑ czenda:

2P(4)? To je na mě moc odborné. Prosím trochu blíže rozebrat.

Olin · 31. 03. 2010 23:32 — Editoval Olin (31. 03. 2010 23:33)

No vyjde to $5! - 2 \cdot 4!$ .

5! je, jak jsem již napsal, počet způsobů, jak je rozesadit bez ohledu na nějaké osobní sympatie či antipatie.

4! je počet způsobů, jak rozesadit čtyři lidi - to vychází z té úvahy o "dvojčlověku". No a protože ten dvojčlověk může být buď "PetrPavel" nebo "PavelPetr", musíme to ještě vynásobit dvěma. $2 \cdot 4!$ je tedy počet způsobů, jak rozesadit 5 lidí tak, aby dva konkrétní seděli vedle sebe.

Zkusím ještě trochu elementárnější (ale škaredší) přístup: lidi si pojmenuji Adam, Bedřich, Cyril, David a Emil. Předpokládejme, že Adam a Bedřich nechtějí sedět vedle sebe. Budeme je postupně usazovat podle pořadí v abecedě. Rozebereme dva možné případy:

1) Adam si sedne na nějaké místo na kraji (taková místa jsou dvě, tedy dvěma způsoby). Bedřich se nemůže posadit vedle něj, tedy může jen na jedno z tří míst (tři způsoby). Cyril, David a Emil si pak mohou posedat, jak chtějí - Cyril si vybere jedno ze tří míst, David pak jedno ze dvou a Emil holt nemá na výběr. Celkem $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ způsobů rozesazení v tomto případě.

2) Adam si sedne někam dovnitř lavice (třemi způsoby) - pak si může Bedřich vybrat pouze ze dvou míst. Zbývající tři místa se obsadí stejně jako v předchozím případě, počet možných rozesazení je tedy $3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

Celkem tedy máme $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 72$ možných rozesazení.

Romajzl · 31. 03. 2010 23:53

↑ Olin:

Díky, díky, díky, fantasticky jsi mi to rozepsal. Teď už jsem to pochopila, ale sama bych na to nepřišla ani na žádný příklad, který nebude stejný jako tento nepřijdu. Je to příšerně složité. Když to pak takhle polopatě někdo vysvětlí, je to fajn, ale přijít sám na to, že se to má dělat tak a tak... to je síla. Ještě že toto fórum existuje.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2010 22:39

kombinatorika a pravděpodobnost

#2 31. 03. 2010 23:08 — Editoval Olin (31. 03. 2010 23:08)

Re: kombinatorika a pravděpodobnost

#3 31. 03. 2010 23:18 — Editoval czenda (31. 03. 2010 23:19)

Re: kombinatorika a pravděpodobnost

#4 31. 03. 2010 23:19

Re: kombinatorika a pravděpodobnost

#5 31. 03. 2010 23:25

Re: kombinatorika a pravděpodobnost

#6 31. 03. 2010 23:32 — Editoval Olin (31. 03. 2010 23:33)

Re: kombinatorika a pravděpodobnost

#7 31. 03. 2010 23:53

Re: kombinatorika a pravděpodobnost

Zápatí