Matematické Fórum

leník 5 · 01. 04. 2010 15:31

Prosím vás o radu: $\sqrt{3x+3}+\sqrt{1\frac{1}{3}x=\sqrt{\frac{x}{3}+7}$

umocnila jsem, levou stranu jsem vypočítala jako vzorec, ale diskriminant nevychází, děkuji za pomoc.

Jan Jícha · 01. 04. 2010 15:52

$\sqrt{3x+3}+\sqrt{1\frac{1}{3}}x=\sqrt{\frac{x}{3}+7}$
$\sqrt{3x+3}+\sqrt{\frac{4}{3}}x=\sqrt{\frac{x+21}{3}$
$3x+3+2\sqrt{(3x+3)(\frac 43x)}+\frac 43x=\frac{x+21}{3}$
$9x+9+6\sqrt{(3x+3)(\frac 43x)}+4x=x+21$
$6\sqrt{(3x+3)(\frac 43x)}=-9x+x-4x-9+21$
$6\sqrt{4x(x+1)}=12-12x$
$36(4x(x+1))=144 x^2-288 x+144$
$36(4x^2+4x)=144x^2-288x+144$
$144x^2+144x=144x^2+144-288x$
$432x=144$
$3x=1$
$x= \frac 13$

leník 5 · 01. 04. 2010 16:11

↑ Honza Matika: Děkuji moc!!!

Rumburak

Co znamená to rovnítko pod odmocninou ? A ten první výraz se zlomkem ? Mělo to snad být
$\sqrt{3x+3}+\sqrt{\frac{4}{3}x}=\sqrt{\frac{x}{3}+7}$ ?

Pokud je to tak, jak se domýšlím, pak umocněním dostanu

$3x+3+\frac{4}{3}x + 2\sqrt{3x+3}\sqrt{\frac{4}{3}x} =\frac{x}{3}+7$ , algebraickými úpravami pak postupně
$3x+\frac{4}{3}x + 2\sqrt{3x+3}\sqrt{\frac{4}{3}x} =\frac{x}{3}+4$
$3x+\frac{3}{3}x + 2\sqrt{3x+3}\sqrt{\frac{4}{3}x} =4$ ,
$4x+2\sqrt{3x+3}\sqrt{\frac{4}{3}x} =4$ ,
$2x+\sqrt{3x+3}\sqrt{\frac{4}{3}x} =2$ ,
$\sqrt{3x+3}\sqrt{\frac{4}{3}x} =2-2x$ ,
$\sqrt{3x+3}\sqrt{\frac{1}{3}x} =1-x$ ,
$\sqrt{x^2+x} =1-x$ .
Druhé umocnění dává
$x^2+x =1-2x + x^2$ , odtud
$x =1-2x$ ,
$3x = 1$ ,
$x = \frac {1}{3}$ .

Nyní nutno provést zkoušku (neboť jsme dvakrát umocňovali a umocnění na sudý exponent není ekvivalentní úprava):

$L=\sqrt{3\cdot \frac{1}{3}+3}+\sqrt{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{4} + \sqrt{\frac{4}{9}} = 2 + \frac {2}{3} =\frac{8}{3}$ ,
$P=\sqrt{\frac{\frac{1}{3}}{3}+7}= \sqrt{\frac{1}{9}+7}=\sqrt{\frac{64}{9}}= \frac{8}{3}$ , $L = P$ .