Matematické Fórum

ondrax · 02. 04. 2010 19:06

Ahoj všichni, potřebovaval bych prosím poradit s tímto příkladem.
Pravidelný n úhelník má 54 úhlopříček a poloměr kružnice jemu opsané je r =14 cm.Vypočítejte jeho obvod a obsah.
Příklad vypadá jednoduše ,ale zamotal jsem se u výpočtu strany. Vyšlo mi, že se jedná o 12 úhelník, ale nevím jak určit stranu a.

zdenek1 · 02. 04. 2010 19:34

↑ ondrax:
trojúhelník tvořený dvěma sousedními vrcholy a středem (rovnoramenný) má proti základně úhel 30°.
Když z je délka strany $\frac{\frac z2}r=\sin 15^o$
$z=2r\sin15^o$

Jan Jícha

Zdravím, ze vztahu $\frac{1}{2}n(n-3)=54$ se určí, že je to opravdu 12-ti úhelník.

Strana a se vypočítá tak, že se 12-ti úhelník rozdělí na 12 shodných trojúhelníků. Každý trojúhelník má úhel při vrcholu 360/12

Tady obrázek, snad pomůže.

ondrax · 02. 04. 2010 19:44

To platí u všech rovnostranných trojúhelníků, že mají proti základně úhel 30°?
délka strany mě vyšla 7,252 - a obvod 87,02 je to tak?
A jak mám vyúpočítat obsah, když neznám poloměr kružnice vepsané?

ondrax · 02. 04. 2010 19:51

už to chápu, tzn.,že když ro bude 9 úhelník bude úhel při vrcholu 40°, nebo 6 úhelník 60°

ondrax · 02. 04. 2010 20:07

díky za obrázek, hodně mi pomohl.Teď jsem to snad vypočítal výsledek je 588,12. Poloměr kružnice opsané jsem vypočítal pomocí Pyth.věty a pak jen doplnil do vzorce.jen prosím o kontrolu výsledku. Moc děkuji za pomoc

Jan Jícha · 02. 04. 2010 20:25

↑ ondrax: Tvé výpočty jsou správné, ↑ ondrax: chápeš to dobře. ↑ ondrax: Tento výsledek je také správný :)

ondrax · 02. 04. 2010 20:54

Opět jsem narazil na příklad, kde vůbec nevímco s ním, ve výsledcích je výsledek, který vůbec nechápu.Pomůžete prosím?
Odvěsna pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníkaje 4cm.Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného kružnicí trojúhelníku vepsanou a kružnicí trojúhelníku opsanou. Nechápu co mám teda počítat (má to být mezikruží?).

Ivana · 02. 04. 2010 21:35

↑ ondrax: Už vidíš co a jak máš počítat ? :

ondrax · 02. 04. 2010 21:50

už to vidím, ale pořád nevím jak to vypočítat. Výsledek má vyjít 16π(√2- 1)cm2

Ivana · 02. 04. 2010 22:02

↑ ondrax: Nejdůležitější bude vypočítat poloměry kružnic.

r2 - Pythagorova věta

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

r1 - bude trochu složitější přes funkci cos45°

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ivana · 02. 04. 2010 22:24 — Editoval Ivana (02. 04. 2010 22:34)

↑ ondrax:

....pro kontrolu :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

....konečný výsledek :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

zdenek1 · 02. 04. 2010 23:04

↑ ondrax:
Ivana ti to spočítala číselně, ale když máš výsledek s odmocninami, tak ti to ukážu s odmocninami.
Podle obrázku od Ivany.
$r_2$ je polovina přepony (pokud nevíš proč, najdi si něco o Thaletově kružnici)
přepona je $c^2=4^2+4^2$ , $c=4\sqrt2$ , takže $r_2=2\sqrt2$

Na obrázku jsou všechny 4 červené trojúhelníky shodné. Takže pro přeponu dostáváš
$8-2r_1=4\sqrt2$
$r_1=4-2\sqrt2$

Obsah pak bude $S=\pi r_2^2-\pi r_1^2=\pi(8-16+16\sqrt2-8)=16\pi(\sqrt2-1)$

Ivana · 03. 04. 2010 08:33

↑ zdenek1: Zdravím :-) , máš pravdu , takhle je to elegantnější :-)
Podstata je stejná :-)

ondrax · 03. 04. 2010 12:17

Děkuji strašně moc za pomoc, jste úžasní . Nezbývá jen tiše "závidět".
Chtěl bych se ještě zeptat jestli je napsaný správně vzorec pro výpočet kruhové výseče $S= /pí r^2 /alpha /360$ mám zde příklad,kde výsledek je uveden jako $8/pí$ Vzdálenost tětivy od středu kružnice je 6 cm, příslušný středový úhel má velikost 60°.Vypočítejte obsah kruhové výseče. Mě vyšel výsledek 18.84 cm2.Prosím poraďte.

byk7 · 03. 04. 2010 12:21 — Editoval byk7 (04. 04. 2010 22:02)

↑ ondrax: v TeXu piš pí bez čárky: \pi → $\pi$

pokud myslíš obsah (POZOR, JDE O OBSAH KRUHOVÉ ÚSEČE), tak je to vzorec $S=\frac{r^2}{2}$\frac{\alpha\cdot\pi}{180}-\sin\alpha$$
OBSAH KRUHOVÉ VÝSEČE je roven $S=\frac{\alpha}{360}\cdot\pi r^2$

poloměry a tětiva spolu tvoří rovnostranný trojúhelník s výškou 6 cm, stranu dopočítáš z Pythagorovy věty a dosadíš do vzorce

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

ondrax · 03. 04. 2010 12:38

↑ byk7:
díky za pomoc, ale proč je ve výsledcích uveden výsledek 8 pí ?

Chrpa · 04. 04. 2010 16:04 — Editoval Chrpa (04. 04. 2010 16:08)

↑ ondrax:
Pro polměr platí:
$\cos(30)=\frac{6}{r}\nlr=\frac{6}{\cos(30)}=\frac{6}{\frac{\sqrt3}{2}}=4\sqrt 3\nlr^2=48$
Pro obsah výseče platí:
$S=\frac{\pi\,r^2\cdot \alpha}{360}=\frac{\pi\cdot 48\cdot 60}{360}\nlS=8\pi\,\rm{cm^2}$

ondrax · 04. 04. 2010 16:16

děkuji, ale já marně pátrám jak přijít na ty vzorce, já jsem počítal sin 60° ( proč cos 30 a pořád mě vycházelo 18,84 tj. 6pí

Mám tady ještě jeden, který je taky zapeklitý, vždycky, když tam nejsou žádná čísla, tak jsem vedle.
Do kružnice je vepsán čtyřúhelník ABCD , tak, že poměr délek oblouků AB,BC,CD,DA je 2:3:3:4.Vypočítejte velikost vnitřních úhlů a poměr délek jeho stran.

Chrpa · 04. 04. 2010 17:06

↑ ondrax:
Tady máš obrázek z něho zjistíš proč cos(30)

ondrax · 04. 04. 2010 17:18

na obrázku je to pěkně vidět, ale pořád nevím . proč se na levé straně objevila odmocnina ze tří, lomená dvěma.Já jsem počítel, že cos 30° = 0,866

Jan Jícha · 04. 04. 2010 17:21

Doporučuji pročíst toto, zejména kapitolu "Hodnoty funkcí ve vybraných úhlech"

ondrax · 04. 04. 2010 17:28

ta tabulka všechno vysvětluje, ale o něčem takovém jsem ani nevěděl díky

Chrpa · 04. 04. 2010 21:46 — Editoval Chrpa (04. 04. 2010 21:48)

↑ ondrax:
Podle obrázku:

a) Ve stejném poměru v jakém jsou délky oblouků jsou i příslušné středové úhly $\epsilon$ $\phi$ $\varphi$ $\lambda$
Součet těchto úhlů je 360 stupňů.
Poměr je 2:3:3:4 = 12 tj.
$\epsilon=\frac{2\cdot 360}{12}=60\,^\circ\nl\phi=\frac{3\cdot 360}{12}=90\,^\circ\nl\varphi=\frac{3\cdot 360}{12}=90\,^\circ\nl\lambda=\frac{4\cdot 360}{12}=120\,^\circ$
Potom:
$\alpha_2=\beta_1=\frac{180-\epsilon}{2}=60\,^\circ\nl\beta_2=\gamma_1=\frac{180-\phi}{2}=45\,^\circ\nl\gamma_2=\delta_1=\frac{180-\varphi}{2}=45\,^\circ\nl\delta_2=\alpha_1=\frac{180-\lambda}{2}=30\,^\circ$
$\alpha=\alpha_1+\alpha_2=90\,^\circ\nl\beta=\beta_1+\beta_2=105\,^\circ\nl\gamma=\gamma_1+\gamma_2=90\,^\circ\nl\delta=\delta_1+\delta_2=75\,^\circ$

b) Poměry délek stran jsou ve stejném poměru jako délky oblouků tedy 2:3:3:4

byk7 · 04. 04. 2010 21:53

↑ Chrpa:

Jen tak,
můj ↑ výsledek: je špatně?

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2010 19:06

Planimetrie - n-úhelník

#2 02. 04. 2010 19:34

Re: Planimetrie - n-úhelník

#3 02. 04. 2010 19:36 — Editoval Honza Matika (02. 04. 2010 19:38)

Re: Planimetrie - n-úhelník

#4 02. 04. 2010 19:44

Re: Planimetrie - n-úhelník

#5 02. 04. 2010 19:51

Re: Planimetrie - n-úhelník

#6 02. 04. 2010 20:07

Re: Planimetrie - n-úhelník

#7 02. 04. 2010 20:25

Re: Planimetrie - n-úhelník

#8 02. 04. 2010 20:54

Re: Planimetrie - n-úhelník

#9 02. 04. 2010 21:35

Re: Planimetrie - n-úhelník

#10 02. 04. 2010 21:50

Re: Planimetrie - n-úhelník

#11 02. 04. 2010 22:02

Re: Planimetrie - n-úhelník

#12 02. 04. 2010 22:24 — Editoval Ivana (02. 04. 2010 22:34)

Re: Planimetrie - n-úhelník

#13 02. 04. 2010 23:04

Re: Planimetrie - n-úhelník

#14 03. 04. 2010 08:33

Re: Planimetrie - n-úhelník

#15 03. 04. 2010 12:17

Re: Planimetrie - n-úhelník

#16 03. 04. 2010 12:21 — Editoval byk7 (04. 04. 2010 22:02)

Re: Planimetrie - n-úhelník

#17 03. 04. 2010 12:38

Re: Planimetrie - n-úhelník

#18 04. 04. 2010 16:04 — Editoval Chrpa (04. 04. 2010 16:08)

Re: Planimetrie - n-úhelník

#19 04. 04. 2010 16:16

Re: Planimetrie - n-úhelník

#20 04. 04. 2010 17:06

Re: Planimetrie - n-úhelník

#21 04. 04. 2010 17:18

Re: Planimetrie - n-úhelník

#22 04. 04. 2010 17:21

Re: Planimetrie - n-úhelník

#23 04. 04. 2010 17:28

Re: Planimetrie - n-úhelník

#24 04. 04. 2010 21:46 — Editoval Chrpa (04. 04. 2010 21:48)

Re: Planimetrie - n-úhelník

#25 04. 04. 2010 21:53

Re: Planimetrie - n-úhelník

Zápatí