Matematické Fórum

Zeb · 03. 04. 2010 17:14 — Editoval Zeb (03. 04. 2010 22:16)

Dobrý den, prosím o pomoc s diferenciální rovnicí (metoda snižování řádu). Postupu v této metodě jsem si vědom, ale mám spíš problém s upravováním výrazů.

Řešit metodou snižování řádu:
// výraz:
$x^2(x+1)y" - 2y = 0$
// 1. partikulární řešení:
$y_1 = 1+ \frac 1x$
// obecné řešení:
$y=c_1(1+ \frac 1x) + c_2( \frac x2+1-(\frac{x+1}x)ln|x+1|)$

Vypočítal jsem 1. a 2. derivaci $y_2=u(x)*y_1$ , dosadil, úspěšně ověřil vykrácení členu y bez stupně derivace.
Dále jsem substituovat y‘=Z, upravil + vytýkal -> získám tvar:
$\frac 1zdz = \frac {2dx}{(x^2)(1+1/x)}$ ,
tedy $ln|z|= +2ln|x| -2ln|x+1| + lnC$
upravuji a zpětnou substitucí dostanu $du= \frac {C(x^2)dx}{(x+1)^2}$
Integrací dostávám $u=x- \frac 1{x+1} - 2ln(x+1)+C$ (tyto na chybu náchylnější kroky jsem si ověřoval i přes wolframalpha). Měl bych teď násobit u(x)*(y_1), abych získal y_2, ale asi dělám něco špatně, nebo neumím upravit finální součin do tvaru y_2 uvedeného v obecném řešení. Prosím tedy o prohlédnutí mého postupu a případné správné nasměrování…

Moc děkuji za ochotu i čas!!

Kondr · 03. 04. 2010 23:26

Když to vynásobíš, dostaneš
x+1-1/x-2((x+1)/x)ln(x+1)+C(x+1)/x=
x+2-2((x+1)/x)ln(x+1)+(C-1)(x+1)/x=
=2(x/2+1-((x+1)/x)ln(x+1))+(C-1)(x+1)/x
Jediný rozdíl oproti výsledku je ten, že před první závorkou je dvojka a ne lib. konstanta. Konstantu jsi ztratil před integrací.

Zeb · 04. 04. 2010 14:59

↑ Kondr:
Ano, vše vychází... jen jsem to neviděl - děkuji moc :-)

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2010 17:14 — Editoval Zeb (03. 04. 2010 22:16)

diferenciální rovnice - metoda snižování řádu

#2 03. 04. 2010 23:26

Re: diferenciální rovnice - metoda snižování řádu

#3 04. 04. 2010 14:59

Re: diferenciální rovnice - metoda snižování řádu

Zápatí