Matematické Fórum

leník 5 · 02. 04. 2010 14:06

Prosím vás, pomůžete mně? $\frac1{1-x-y}+\frac1{1-x-y}=\frac23$
$\frac1{1-x-y}-\frac1{1-x+y}=-\frac43$

Máme to počítat substitucí, ale vůbec nevím, jak na to. Děkuji všem.

[ReD]mikl · 02. 04. 2010 15:00

já si to napsal takhle: budou dvě substituce, ale nevím, zda to mám dobře, nejsem profík
1. za první člen první rce
2. za druhý člen druhé rce
v té první potom dostaneme o jedné neznámé, z čehož dostaneme číslo, neboli x
v druhé jsou dvě neznámé, jenže x už víme

kdyby byly nějaké otázky, piš

Tychi · 02. 04. 2010 15:52

↑ [ReD]mikl:Nemůžeš si jako substituci zvolit stejné písmenko, to ti pak vychází nesmyslsy. Zkus si zkoušku a uvidíš, že tvé řešení není řešením původní soustavy.

Rumburak · 02. 04. 2010 16:05

↑ leník 5:
Bývá výhodné substituovat za složitější výrazy, zejména pokud se opakují. Zde například

$u = \frac1{1-x-y}$ , $v = \frac1{1-x+y}$

Mimochodem: neměla být první rovnice
$\frac1{1-x-y}+\frac1{1-x \boxed{+}y}=\frac23$ ?

[ReD]mikl · 02. 04. 2010 16:49

↑ Tychi:
jo bohužel zapomněl jsem, ale zkusil jsem :D:D:D

leník 5 · 02. 04. 2010 23:00

↑ Rumburak: Opravdu to zadání je správné, je to tak v učebnici. Výsledek má být $-\frac45;-\frac65$ , děkuji.

jelena · 03. 04. 2010 00:38

↑ leník 5:

Zdravím,

Kolega Rumburak má pravdu - v zadání je malý překlep (Janeček, str. 94, 4.1.4 5)

$\frac1{1-x\boxed{+}y}+\frac1{1-x-y}=\frac23$
$\frac1{1-x-y}-\frac1{1-x+y}=-\frac43$

Zkus substituci, jak navrhuje kolega ↑ Rumburak: (děkuji):

substituce: $u = \frac1{1-x-y}$ $v = \frac1{1-x+y}$ ,

dostaneme soustavu:

$v+u=\frac23$

$u-v=-\frac43$

Určitě to zvladněš. Měj se pěkně.

k.rrrr · 03. 04. 2010 01:06

↑ jelena:

Já jsem to řešil takto, ale nevyšlo mi to podle tvých výsledků a nemohu nalézt chybu. Díky za nalezení chyby a aVaše připomínky.

jelena · 03. 04. 2010 01:17

↑ k.rrrr:

Zdravím,

myslím, že trošku probém je při zpětném dosazování do substituce: dosazuji a:

$-\frac13 = \frac1{1-x-y}$ zlomek se převrátí:

$-3 =1-x-y$ a podobně pro dosazování b.

V pořádku?

Ale řekla bych, že už je trochu neskoro na řešení soustav rovnic.

Jan Jícha · 03. 04. 2010 01:26

↑ k.rrrr: Zdravím, rovnice co navrhuje Kolegyně ↑ jelena: tj. soustava
$\frac1{1-x+y}+\frac1{1-x-y}=\frac23$
$\frac1{1-x-y}-\frac1{1-x+y}=-\frac43$
má řešení: $y=2 \ ; \ x=2$

Ale řešení této soustavy: (té původní)
$\frac1{1-x-y}+\frac1{1-x-y}=\frac23$
$\frac1{1-x-y}-\frac1{1-x+y}=-\frac43$
je opravdu: $x=-\frac 45 \ ; \ y=-\frac 65$

Takže zřejmě máš jinou učebnici.

k.rrrr · 03. 04. 2010 01:32

↑ Honza Matika:
a nějaké podrobnější řešení by nebylo. Alespoň od dosazování do substituce, tam mi to u obou nevychází. Možná už je něják pozdě :D

jelena · 03. 04. 2010 01:38

↑ k.rrrr:, ↑ Honza Matika:

společně s opravdovým matematikem vám řeknu Dobrou noc :-)

Jan Jícha · 03. 04. 2010 01:53

Řeším soustavu z (Janeček, str. 94, 4.1.4 5) , což se neshoduje s ↑ původním: zadáním.

$\frac1{1-x+y}+\frac1{1-x-y}=\frac23$
$\frac1{1-x-y}-\frac1{1-x+y}=-\frac43$

Zavedeme substituci $\frac{1}{1-x+y}=a$ , $\frac{1}{1-x-y}=b$

Dostáváme soustavu rovnic $\boxed{a+b=\frac 23 \nl b-a=-\frac 43}$

Z první rovnice si vyjádřím například "a":
$a=\frac 23 -b$ a dosadíme do druhé. $b-(\frac 23 -b)=-\frac 43 \nl 2b=-\frac 43+ \frac 23 \nl 6b=-4+2 \nl 6b=-2 \nl b=-\frac 13$ .

Teď dosadím "b" do rovnice $a+b=\frac 23 \nl a-\frac 13=\frac 23 \nl a=1$

A teď dosadím do substituce a vyřešín jako soustavu rovnic.

$\frac{1}{1-x+y}=1$
$\frac{1}{1-x-y}=-\frac 13$

Nejdříve odstraním zlomky:
$1=1-x+y \nl 3=-1+x+y$
Nyní si vyjádřím např. "x" $1=1-x+y \nl x=y$
Dosadím do druhé.
$3=-1+y+y \nl y=2$ A když x=y, pak i $x=2$

Takže dostávám řešení $\boxed{\underline{x=2 \ ; \ y=2}}$
Mohu provést zkoušku a zjistím, že řešení sedí :)