Matematické Fórum

AdamČer

dobry den potreboval bych jestli by nekdo nemohl vypočitat tento přiklad..v sešitě matematiky žadny podobný přilad nemam ..moc dekuju

Určete hodnotu parametru n tak,aby danna přimka byla tečnou daně kružnice a vypočítejte souřadnice bodu dotyku T
$k: x^2 + y^2=5$ .
$p: x=(n-2)-2t \wedge y=1+t$ .

Olin · 05. 04. 2010 11:04

Přímka je tečnou kružnice právě tehdy, když mají tyto dvě křivky právě jeden společný bod. To jest tehdy, když existuje právě jedno řešení uvedených rovnic. Stačí tedy dosadit z rovnic přímky do rovnice kružnice a zjistit (nejspíš pomocí diskriminantu), kdy má tato rovnice právě jedno řešení.

Chrpa · 05. 04. 2010 12:32 — Editoval Chrpa (06. 04. 2010 08:55)

↑ AdamČer:
Máme:
$k: x^2 + y^2=5$
$p: x=(n-2)-2t \wedge y=1+t$

1) Převedeme parametrickou rovnici přímky na obecný tvar ax+by+c=0
Přímka je určena dvěma body řekněme A(a1; a2) a B(b1; b2)
Paramtrické výjádření přímky je:
$x=a_1+tu_1\nly=a_2+tu_2$
Směrový vektor u definující přímku v jejím parametrickém vyjádření je:
$u(u_1;\,u_2)$
Čili pro bod A máme:
$a_1=n-2\nla_2=1\nlu_1=-2\nlu_2=1$
Pro bod B platí:
$u_1=b_1-a_1\nlu_2=b_2-a2\nl-2=b_1-n+2\nlb_1=n-4\nl1=b_2-1\nlb_2=2$
Máme určeny body přímky :
$A(n-2;\,1)\nlB(n-4;\,2)$
Směrový vektor této přímky je: $u=(n-2-n+4;\,1-2)=(2;\,-1)$
Normálový vektor přímky bude:
$n(1;\,2)$
Přímka bude mít obecný tvar $x+2y+c=0$ -dosadíme bod A (jeho souřadnice) a dostaneme:
$n-2+2+c=0\nlc=-n$
Rovnice přímky bude:
$x+2y-n=0\nlx=n-2y\nlx^2=n^2-4yn+4y^2$ toto dosadíme do rovnice kružnice
$x^2+y^2=5\nln^2-4yn+4y^2+y^2=5\nl5y^2-4yn+n^2-5=0$ aby přímka měla jeden společný bod s kružnicí, pak diskriminant této rovnice musí být 0 $D=0$ tj:
$16n^2-20n^2+100=0\nl4n^2=100\nln=\pm\,5$
Dostaneme 2 přímky:
1) $x+2y-5=0$
2) $x+2y+5=0$
Nyní pro každou přímku stačí dopočítat bod dotyku $T_1$ resp. $T_2$
ad1) dostaneme:
$x+2y-5=0\nlx=5-2y\nlx^2=25-20y+4y^2$ -dosadíme do rovnice kružnice:
$4^2y-20y+y^2+25=5\nl5y^2-20y+20=0\nly=\frac{20}{10}=2\,\Rightarrow\nlx=5-2y\nlx=5-4\nlx=1\nlT_1(1;\,2)$
Obdobně vypočteme i souřadnice T_2
To už si dopočítej.
Mělo by ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PS: Rovnice přímek budou v parametrickém vyjádření:
1) $x=3-2t\nly=1+t$
2) $x=-7-2t\nly=1+t$
Obrázek:

http://forum.matweb.cz/upload/1270536840-abk1.JPG

Olin · 05. 04. 2010 12:45 — Editoval Olin (05. 04. 2010 12:45)

↑ Chrpa:
Postup je samozřejmě správně, jen se dá zrychlit tím, že nebudeme převádět parametrické rovnice přímky na obecnou rovnici, ale rovnou z těch parametrických rovnic dosadíme do rovnice kružnice. Tím získáme kvadratickou rovnici s neznámou t a parametrem n, u které diskutujeme počet řešení v závislosti na n.

cabek · 05. 04. 2010 12:45

Nabízím ještě řešení přes kvadratickou rovnici s parametrem:
jak bylo řečeno, hledáme, kdy má kružnice a tečna jeden společný bod --> jeden kořen kvadratické rovnice (diskriminant roven nule):
1) do rovnice kružnice dosadíme x a y z rovnice přímky:
$[(n-2)-2t]^2+(1+t)^2=5$
2) rovnici upravíme na tvar:
$5t^2+t(10-4n)+n^2-4n=0$
3) vypočteme diskriminant:
$D=(10-4n)^2-4.5(n^2-4n)=100-4n^2$
4) hledáme takové n, kdy se D bude rovnat nule:
$100-4n^2=0$
$n=+-5$
Teď už jen stačí n dosadit do rovnice přímky - dostaneme dvě přímky (tečny) a vypočteme společný bod postupně s první přímkou a potom s druhou přímkou.