Matematické Fórum

Maselman · 06. 04. 2010 22:01

Zdravím,
Mohl by mi někdo co nejpolopatičtěji vysvětlit, jak zjistim lokální extrémy funkce: 9x^2 + 4y^2 - 36x + 16y - 92 =0.

Prvni parciální derivace podle x mi vyšla po zkraceni: x = 2
Prvni parciální derivace podle y mi vyšla po zkraceni: y = 2
To mi dává podezřelý bod z extrému A[2,2]

Ale už nevím jak dál. Mám pokračovat stejně jako podobně jako u grafů s jednou proměnnou ? (Dosadit tento bod do druhe derivace a podle výsledku rozhodnout, zda se jedná o lok. minimum nebo maximum )

Předem děkuji za odpověď

lukaszh · 06. 04. 2010 22:42

↑ Maselman:

Neudávaš, ktorá premenná je závislá a ktorá nezávislá. Ak je to podľa konvencie, tak y(x). To asi nebude správne, pretože bod A nepatrí danej krivke.

$9\cdot2^2+4\cdot2^2-36\cdot2+16\cdot2-92=-76\,\ne\,0$

Predpokladáme, že y je funkciou x, teda

Extrém je tam, kde je derivácia rovná nule. Preto

$\frac{18-9x}{4y(x)+8}=0\;\Leftrightarrow\;18-9x=0\;\Leftrightarrow\;\boxed{x=2}$

V bode x = 2 je stacionárny bod. Teraz zistíme druhú deriváciu:

Dosadíme stacionárny bod (musíme ešte dopočítať y(2)).

Olin · 06. 04. 2010 23:00

Jedno poněkud alternativní řešení: uvedená rovnice je rovnice elipsy v rovině. Dvěma doplněními na čtverec to dostaneme do středového tvaru. Je zřejmé, že extrémy nastanou v průsečících poloos s elipsou.

Maselman · 07. 04. 2010 14:21

Mnohokrát vám děkuji za radu a osvětlení tohoto problému. Již jsem to doufám pochopil ;-)
P.S.
Alternativní řešení jsem použil jako zkoušku.....

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2010 22:01

Extrémy implicitně zadané funkce

#2 06. 04. 2010 22:42

Re: Extrémy implicitně zadané funkce

#3 06. 04. 2010 23:00

Re: Extrémy implicitně zadané funkce

#4 07. 04. 2010 14:21

Re: Extrémy implicitně zadané funkce

Zápatí