Matematické Fórum

h3r0 · 17. 03. 2010 08:40

Dobrý den,
byl by někdo ochotnej pomoct mi s tímhle? Ďěkuji.

Deskový kondenzátor majíci elektrody o obsahu S ve vzdálenosti d byl nabit na napětí U.
Nabíjecí batérie pak byla odpojena a elektrody oddáleny do vzdálenosti 2d. Prostřednictvím veličin S, d, U vyjádřete:
(1) nové napětí na elektródach,
(2) počáteční a koncovou energii kondenzátoru,
(3) práci potřebnou na oddálení olektrod.

zdenek1 · 17. 03. 2010 09:05

↑ h3r0:
Kapacita $C_1=\frac{\varepsilon S}{d}$
1) Po nabití bude na kondanzátoru náboj $Q=C_1U$ a tento náboj bude při oddalování neměnný.
$C_1U=C_2U_2$
$\frac{\varepsilon S}{d}U=\frac{\varepsilon S}{2d}U_2$
$U_2=2U$
2) $E_1=\frac12 C_1U^2=\frac{\varepsilon S}{2d}U^2$
$E_2=\frac12C_2U_2^2=\frac{\varepsilon S}{4d}(2U)^2=\frac{\varepsilon S}{d}U^2$
3) $W=E_2-E_1=\frac{\varepsilon S}{2d}U^2$

h3r0 · 17. 03. 2010 10:11

Vypada to byt OK, muzes jeste nejake vysvetleni? Nebo tam staci jenom vedet vzorce a dosazovat?

zdenek1 · 17. 03. 2010 11:29

↑ h3r0:
Teď ti nerozumím. Vzorce jsou podmínka NUTNÁ, nikoli postačující.

medvidek

Zdravím ↑ h3r0:
Na základě naší komunikace doplňuji informace k tomuto tématu, i když je označeno jako vyřešené. Mohly by být užitečné i pro někoho jiného.

Pro řešení této úlohy je potřeba znát:

a) Vzorec pro kapacitu deskového kondenzátoru
$C=\frac{\varepsilon S}{d}$ , kde $\varepsilon$ je permitivita dielektrika mezi deskami, $S$ je plocha desek, $d$ je vzdálenost desek.

b) Vztah definující kapacitu kondenzátoru
$C=\frac{Q}{U}$ , kde $Q$ je náboj na kondenzátoru, $U$ je napětí na kondenzátoru.

c) Vzorec pro energii kondenzátoru
$E= \frac{1}{2} \cdot CU^2$

To ostatní budou jen úvahy, co se stane, když změníme vzdálenost $d$ .
Odpověď na otázku (1) dostaneme spojením vztahů a) a b).
$\frac{\varepsilon S}{d}=\frac{Q}{U}$ => $U=\frac{Qd}{\varepsilon S}$ . Proto při zdvojnásobení vzdálenosti $d$ bude nové napětí $U_2=\frac{Q(2d)}{\varepsilon S}=2U$ .

Odpověď na otázku (2) dostaneme dosazením vztahu a) do c).
$E= \frac{1}{2} \cdot CU^2= \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon S}{d}U^2$ . Při zdvojnásobení vzdálenosti $d$ bude nová energie $E_2= \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon S}{(2d)}U_2^2= \frac{\varepsilon S}{d}U^2$ .

Odpověď (3) plyne ze zákona zachování energie. Rozdíl mezi novou a původní energií kondenzátoru musí odpovídat práci potřebné k oddálení desek kondenzátoru.
$W=E_2-E= \frac{\varepsilon S}{d}U^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon S}{d}U^2= \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon S}{d}U^2$ .

Odvození vzorců 1) a 3) mohu ukázat v jiném příspěvku.

medvidek

Odvození vzorce pro kapacitu deskového kondenzátoru.

Pro jednoduchost budeme uvažovat rovinný deskový kondenzátor s deskami o ploše $S$ ve vzdálenosti $d$ a zanedbáme vliv okrajů desek na rozložení pole. V takovém případě je intenzita el. pole mezi deskami všude konstantní (a kolmá na povrch S) a platí $|\vec E|=\frac{U}{d}$ .

Vyjdeme z Gaussova zákona v integrálním tvaru:
$\oint_S \vec E \ \mathrm{d}S = \frac{Q}{\varepsilon}$
S využitím výše uvedeného předpokladu dostaneme
$\frac{U}{d} S = \frac{Q}{\varepsilon}$ .
Po dosazení za $Q=UC$ dostaneme $\frac{U}{d} S = \frac{UC}{\varepsilon}$ , z čehož lze vyjádřit kapacitu $C$

$C=\varepsilon \frac{S}{d}$

medvidek

Výpočet energie kondenzátoru.

Vzorec pro energii kondenzátoru lze odvodit různými způsoby.
Jednou z možností je výpočet energie el. proudu potřebného na nabití kondenzátoru.
Jinou možností je výpočet energie elektrostatického pole mezi deskami kondenzátoru.
Další možností může být výpočet práce potřebné k přesunutí elektrod do požadované polohy.

První postup (z energie el. proudu):

$W=\int{P(t) dt}$ , kde $P$ je výkon el. proudu, $t$ je čas.
Bez újmy na obecnosti mohu zvolit nabíjení konstantním el. proudem (protože energie kondenzátoru nezávisí na způsobu nabíjení).
Proto mohu dále upravovat:
$W=\int{U(t)I \ dt}= I \int{U(t) dt}= I \int{\frac{Q(t)}{C} dt}= \frac{I}{C} \int{It \ dt}= \frac{I^2}{C} \cdot \frac{t^2}{2}= \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{C}= \frac{1}{2} \cdot CU^2$

Druhý postup (z energie elektrostatického pole):

Vyjdeme ze vztahu pro energii elektrostatického pole
$W=\frac{1}{2} \varepsilon \int_V{|\vec E|^2}dV$ , kde $\varepsilon$ je permitivita, $V$ je objem pole vytvořeného mezi deskami kondenzátoru, $\vec E$ je intenzita elektrického pole.
Pro jednoduchost budeme uvažovat rovinný deskový kondenzátor s deskami o ploše $S$ ve vzdálenosti $d$ a zanedbáme vliv okrajů desek na rozložení pole. V takovém případě je intenzita el. pole mezi deskami všude stejná a platí $|\vec E|=\frac{U}{d}$ .
Po dosazení
$W=\frac{1}{2} \varepsilon \int_V{\frac{U^2}{d^2}}dV=\frac{1}{2} \varepsilon \frac{U^2}{d^2}V=\frac{1}{2} \varepsilon \frac{U^2}{d^2}Sd=\frac{1}{2} \varepsilon \frac{S}{d}U^2$
V předchozím příspěvku jsme odvodili $C=\varepsilon \frac{S}{d}$ . Po dosazení dostaneme
$W=\frac{1}{2} CU^2$

rozarka14 · 21. 10. 2011 18:48

Jaké napětí bude na kondenzátoru o kapacitě 60uF, který byl nabíjen konstantním proudem 0,1mA po dobu 60s?
Děkuji moc kdyžtak za odpověď.

((:-)) · 21. 10. 2011 18:53

↑ rozarka14:

Rozarka - nevkladaj nový dotaz do vyriešenej témy, veď to nebude nikto pozerať.

Prečítaj si pravidlá a postupuj radšej podľa nich...

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2010 08:40

Kapacita - kondenzátor

#2 17. 03. 2010 09:05

Re: Kapacita - kondenzátor

#3 17. 03. 2010 10:11

Re: Kapacita - kondenzátor

#4 17. 03. 2010 11:29

Re: Kapacita - kondenzátor

#5 07. 04. 2010 04:52 — Editoval medvidek (07. 04. 2010 04:56)

Re: Kapacita - kondenzátor

#6 07. 04. 2010 07:14 — Editoval medvidek (07. 04. 2010 07:19)

Re: Kapacita - kondenzátor

#7 07. 04. 2010 07:17 — Editoval medvidek (07. 04. 2010 07:26)

Re: Kapacita - kondenzátor

#8 21. 10. 2011 18:48

Re: Kapacita - kondenzátor

#9 21. 10. 2011 18:53

Re: Kapacita - kondenzátor

Zápatí