Matematické Fórum

Dare4you · 07. 04. 2010 17:57

Zdravím mám tu problém se třema dif. rovnicema každá rada dobrá (kromě koukni se do učebnice :)]

určete obecné řešení dif. rovnice:
a) $y'=(x+y)^2$
b) $y'=cos(x-y)$

a poslední je trochu krvák na mě

Určete partikulární řešení dif. rovnice při splnění daných podmínek

$y"'-5y"+6y'=0, y(0)=5, y'(0)=1, y''(0)=5$

Díky moc každýmu, kdo alespoň trochu pomůže.

Johny · 07. 04. 2010 18:33

Zdravím u toho posledního zkus uhodnout nějaké řešení, tzn. vypočítej si pár hodnot a určitě ti nějaké číslo dá rovnost 0=0. Pak tu rovnici poděl ještě příslušným normálovým polynomem, myslím že tak zjistíš případně další kořeny.

Tychi · 07. 04. 2010 18:49

Neporadím učebnici, i když tam by to určitě bylo také, poradím nakouknutí do prvého tématu a nalezení vhodného stroje..

stenly · 07. 04. 2010 19:01

↑ Dare4you:

stenly · 07. 04. 2010 19:14

↑ Dare4you:

Rumburak

1. $y'=(x+y)^2$ - zkus substituci $x + y = u$ a dál separací proměnných obdobně jako v další úloze - zde to ale vyjde příjemněji.

2. $y'=cos(x-y)$ - zkusíme substituci $y - x = u$ . Dostaneme $u'+1 = \,cos \,u$ , odtud postupně
$u' = \,cos \,u\,\,-\,\,1\,\,=\, -2\,sin^2\,\frac{u}{2}$ ,
$\frac {u'}{-2\,sin^2\,\frac{u}{2}} \,\,=\,\,1$ a integrací na

$\cot \,\frac{u}{2}\,\,=\,\, x \,+\, C$ . Dále snad jasné.

3. K té rovnici $y"'-5y"+6y'=0, y(0)=5, y'(0)=1, y''(0)=5$ : substituci $y'=u$ dostaneme pomocnou úlohu
$u''-5u'+6u=0,\,\, u(0)=1, \,\,u'(0)=5$ ,
což je o standardní Cauchyova úloha pro lineární ODR druhého řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou
(jak se řeší, je popsáno v každém uřebním textu na toto téma a našlo by se to i na tomto foru - dalšími klíčovými slovy mohou být
"charakteristická rovnice", "charakteristický polynom", "počáteční podmínky", "obecné řešení", "partikulární řešení", "situace z možných",
"analytické řešení").

K funkci $u$ , která je řešením této pomocné úlohy, pak najdeme takovou primitivní funkci $y$ , která splňuje $y(0) = 5$ .