Matematické Fórum

noxondra · 06. 03. 2008 08:10

Ahojte, potřeboval bych poradit s těmito příklady pokud bude někdo vědět.
Díky

1.Kolik pokusu s pravděpodobností p = 1 − 1/e5 musíme udelat, aby pravděpodobnost alespoň 1 úspěchu byla alespoň 1 − 1/e12 ?

2.Sekretářka má rozeslat pět dopisů pěti různým adresátum. Dopisy vkládá do nadepsaných obálek náhodně. Jaká je pravděpobnost, že alespoň jedna osoba dostane dopis určený pro ni?

3.Náhodně vybereme přirozené číslo menší než 105. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0, 1, 5 a zároveň bude dělitelné pěti?
Vím jak na tento příklad jenže je to zbytečně moc složité tak pokud by někdo věděl jak ho spočítat jednoduše.

4.Kolik lidí musí být minimálně ve skupině, aby byla pravděpodobnost, že dva z nich mají narozeniny ve stejný den, vetší než 1/2?

5.V urně je šest koulí s čísly 1, 2, . . . , 6. Koule vybíráme náhodne a nevracíme. Jaká je pravděpodobnost, že v žádném tahu nebude číslo koule shodné s pořadím tahu?

6.Urna byla naplněna takto: čtyřikrát bylo hozeno mincí, když padl líc, byla vložena černá koule, když rub, tak bílá. Postupně z této (promíchané) urny vybereme dvě koule, přičemž po prvním tahu kouli do urny vrátíme. Jaká je pravděpodobnost, že obě tažené koule jsou bílé?

7.Ze čtverce s vrcholy [1, 1], [−1, 1], [−1,−1], [1,−1] náhodně vybereme bod M se souradnicemi [a,y]. Urcete pst, že kvadratická rovnice xna2 + ax + y = 0 má reálné kořeny.

8.Proti (dostateně velké) síti se čtvercovými oky – 8×8 cm je kolmo vržen míček o pruměru 5 cm. Jaká je pravděpodobnost, že proletí bez doteku sítě?.

jelena · 06. 03. 2008 23:44 — Editoval jelena (07. 03. 2008 19:23)

Tady jsou priklady, u kterych jsem nemusela premyslet (take to mozna tak dopadlo :-) - proto zcela bez zaruky !! a budu vdecna, kdyz nekdo z kolegu prekontroluje a zkritizuje.

2.Sekretářka má rozeslat pět dopisů pěti různým adresátum. Dopisy vkládá do nadepsaných obálek náhodně. Jaká je pravděpobnost, že alespoň jedna osoba dostane dopis určený pro ni?

Celkem moznosti umisteni dopise do obalek je permutace P(5)
prave jeden spravne - kombinace C(1,5), zbytek permutace P(4)
prave 2 sprvane - kombinace C(2,5) zbytek permutace P(3) ...

pravdepodobnost, ze alespon jeden spravne (1 nebo 2 nebo 3...5)
C(1,5) P(4) + C(2,5) P(3) + C(3,5) P(2) + C(4,5) + C(5,5)
p(A) = -------------------------------------------------------------------
P(5)

3.Náhodně vybereme přirozené číslo menší než 105. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0, 1, 5 a zároveň bude dělitelné pěti?

Vsech moznosti je 104, cisel delitelnych 5 mame:

5, 10, 15, 50 (To je v pripade, ze bez opakovani) a jeste 55. 100 - pokus s opakovanim
4 6
pravdepodobnost P(A) = ------------ bez opakovani, nebo -------
104 104

8.Proti (dostateně velké) síti se čtvercovými oky – 8×8 cm je kolmo vržen míček o pruměru 5 cm. Jaká je pravděpodobnost, že proletí bez doteku sítě?.

EDITACE: Tento priklad mam s chybou, spravne je pouze to, ze je tzo geometricka pravdepodobnost a mnozina vsech vysledku :-), ale mnozina kladnych vysledku je urcena chybne :-(

obsah prurezu mice pi d^2/4
geometricka pravdepodobnost p(A) = ------------------------ = -------------
obsah oka 64

Jeste toto bych mohla zvladnout, mozna :-)

6.Urna byla naplněna takto: čtyřikrát bylo hozeno mincí, když padl líc, byla vložena černá koule, když rub, tak bílá. Postupně z této (promíchané) urny vybereme dvě koule, přičemž po prvním tahu kouli do urny vrátíme. Jaká je pravděpodobnost, že obě tažené koule jsou bílé?

Pokud se nemylim, tak v urne musi byt 2 bile a 2 cerne koule.
pravdepodobnost, ze v prvnim tahu vytahneme bilou je 2/4, stejna pravdepodobnost, ze i v druhem bude bila
Pravdepodobnost, ze v prvnim a v druhem bude bila je soucin (2/4)(2/4) = 1/4

7.Ze čtverce s vrcholy [1, 1], [−1, 1], [−1,−1], [1,−1] náhodně vybereme bod M se souradnicemi [a,y]. Urcete pst, že kvadratická rovnice xna2 + ax + y = 0 má reálné kořeny

Tento priklad se mi libi nejvic, jelikoz je nejbliz me oblibene analýze :-) Chtelo by to obrazek, ale snad si to i predstavime:

aby rovnice mela realne koreny, musi byt D vetsi nebo rovno 0, tj.

a^2-4y >=0

-4y>=-a^2

y<=(a^2)/4

veskere body, co splnuji tuto nerovnici jsou v zadanem ctvrci a zaroven pod parabolou (x^2)/4.
obsah obrazce pod parabolou
Opet priklad na geometrickou pravdepodobnost: P(A) = ----------------------------------
obsah ctvrce (2*2)

Obsah obrazce pod parabolou se vcelku snadno vypocte pomoci integralu funkce (x^2)/4 v mezich 0,1, vysledek je potreba nasobit 2 + obsah obdelniku pod osou x (S=1*2).

ttopi · 07. 03. 2008 18:42 — Editoval ttopi (07. 03. 2008 18:44)

Příklad 8. Jsem si nakreslil a vyřešil. Výsledek je ovšem jiný, než říká jelena. Troufnu si tvrdit, že správně je můj postup, protože jsme shodou okolností podobný příklad dělali před týdnem.

Takový příklad se řeší přes střed míčku a tam, kde je vzdálen střed od sítě 2,5cm je jev kladný. Přikládám obrázek.

http://img211.imageshack.us/my.php?image=beznzvucj0.jpg

jelena · 07. 03. 2008 19:21

↑ ttopi:

Zdravim, souhlasim, vypada to daleko vice rozumne (stred od site 2,5 cm a vice), nez muj napad - vsak take jsem napsala ihned na uvod, ze ocekavam, ze budu zkritizovana. No, alespon, ze jsem poznala geometrickou pravdepodobnost :-)

Dekuji velice za kritiku:-) Pravdepodobnost, je totiz obor, ve kterem teprve ziskavam odvahu.

A co ostatni priklady, jaky mas nazor?

ttopi · 07. 03. 2008 19:38

↑ jelena:

Asi to máš správně.

Jen jsem se lehce překoukl a u příkladu 3 jsem místo "a zároveň" viděl "nebo". Když už jsem to začal, tak to napíšu, kdyby to někoho zajímalo.

jev A - cifra složená z 0,1,5. Takových čísel je vyjma 0 myslím 10 (1;5;10;11;15;50;51;55;100;101).
Pravděpodobnost je tedy $P(A) = \frac{10}{104}$

jev B - cifra dělitelná 5. Takových cifer je vyjma 0 myslím 20 (není třeba snad vypisovat).
Pravděpodobnost je tedy $P(B) = \frac{20}{104}$

Průnik jevů jsou čísla 5;10;15;50;55;100 (6/104)

Celková pravděpodobnost, že cifra bude buď složená jen z 0,1,5 NEBO bude dělitelná 5 je:
$P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B) = \frac{10+20-6}{104} = 23%$

:-)

jelena · 07. 03. 2008 19:41 — Editoval jelena (07. 03. 2008 20:17)

↑ ttopi:

Editace : Mela jsem dotaz ve smyslu - Jak ze zadani toho prikladu (o cislech mensich nez 105) mam poznat, ze se cifry mohou opakovat?

Tedy mam to brat tak, ze pokud nepozaduji opak, tak mohou. OK :-)

ttopi · 07. 03. 2008 19:44

↑ jelena: Nechápu otázku. Klade se pouze požadavek, že to musí být přirozené číslo. Třeba číslo 55 je přirozené, to je pro mě hlavní.

jelena · 07. 03. 2008 20:29

↑ ttopi:

Svoji otazku jsem zeditovala.

A co zbytek prikladu (prvni, pak narozeniny - to je, myslim, nejaka klasicka uloha, ale ted se mi nechce hledat) a uloha 5) - kdyz uz jsme se do toho pustili:-)

ttopi · 07. 03. 2008 20:54 — Editoval ttopi (07. 03. 2008 21:09)

S těma narozeninama nevím. Zkusil sem si to převést na případ narozenin v den v týdnu, ale pořád nevím.
Napadlo mě třeba, že když je 1 člověk, na každý den vychází pradvěpodobnost 1/7, že má narozeniny v určitý den. Pokud by bylo lidí 5, na každý den připadá pravděpodobnost 5/7. Takže když jsou 4 lidi, tak je víc jak 50% že někdo z nich má narozeniny např. v pondělí. Jak to ale zpětně převést na původní případ akt nevim :-( Snad někdo s něčím přijde.

Pokud by ve skupině byl 1 člověk, je šance 1/365 že se narodil 1.1 například. Když budou 2 lidi, tak je šance asi větší, měla by bejt 2/365. Pokud jich tam bude 365 tak by to mělo znamenat, že je 100% jasný, že tam je někdo kdo se narodil 1.1 - to ale není tak uplně pravda, protože pokud se tam vyskytnou 2 lidi kteří mají narozeniny ve stejný den, tak ta šance na 1.1. už nebude 100%. Mám dost nápadů, ale jak to dohromady skloubit ve správné řešení...to je pro mě zatím problém. Když se to do čtvrtka nevyřeší, předhodím příklad na hodině Kombinatoriky a Pravděpodobnosti. :-)

ttopi · 07. 03. 2008 21:08 — Editoval ttopi (07. 03. 2008 21:13)

Ta 5. je podle mě 1/6. Pro každý tah máme na každou kouli stejnou šanci, tedy 1/6 (akorát že pro každý tah je jiná koula ta která to zkazí). Takže v prvním tahu máme šanci 5/6, že nevytáhnem 1. Ve druhém tahu máme šanci 5/6 že nevytáhnem 2. Atd... Pro každý tah si udělám výsledek ANO a NE (Ano znamená že nastal kladný jev, NE znamená, že kladný jev nenastal). Celkově lze udělat 64 variací s opakováním s různými výsledky z různých tahů. Pro nás je celkově kladná pouze kombinace ANO ANO ANO ANO ANO ANO. Tedy pravděpodobnost na tuto kombinaci je 1/64. Teď se do toho musí nějak zakomponovat to, že šance na ANO je 5/6 a šance na NE je 1/6 - tím se pravděpodobnost podstatně zvýší, na kolik ale nevím.

Napadlo mě pradvěpodobnosti pro jednotlivé tahy sečíst a podělit počtem tahů, vyšla by 83% pravděpodobnost, že v žádném tahu nebude vytažena koule shodná s pořadím tahu - to by mohlo znít reálně. Nevím.

jelena · 07. 03. 2008 21:20

↑ ttopi:

Narozeniny - tusila jsem, ze to je nejaka klasika a take, ze jo :-) - jmenuje se "Narozeninovy problem" - muzes pohledat :-)

ttopi · 07. 03. 2008 21:26

Pohledal jsem a nestačím zírat.

http://cs.wikipedia.org/wiki/Narozenino … obl%C3%A9m

Nevím kdo to tam vložil, ale vůbec se mi nezdá, že při 50 lidech je 97% šance, že 2 lidi maj narozeniny ve stejný den, tomu sem i nechce věřit.

jelena · 07. 03. 2008 22:09

↑ ttopi:

Tak zkus pohledat i jinde :-) Treba kdyz se podivam na ruskou variantu stranky, tak ta je daleko vice rozsahla:
Tam se prave upozornuje, ze ten pocit paradoxu vyplyva z toho, ze hledame dvojici osob se stejnym datem narozeni, je to jedno, ktery den.
Neni to totez, kdybychom vybrali konkretni jednu osobu a k ni hledame dalsi osobu se stejnym datem.

Pak se tam rozebira vyuziti tohoto paradoxu v kryptologii, stejne tak i ulohy ohledne dopisu - pry take patri do klasiky.
To bych ale zabrousila do problematiky, ktere opravdu nerozumim, je tady ale rada kolegu informatiku, urcite to osvetli lepe.

Jsem rada, ze se to prece jen resilo, dekuji za moralni podporu :-)

ttopi · 08. 03. 2008 08:19

↑ jelena: Dobré ráno :-)

Musím se přiznat, že mi to nedalo spát. Celý večer jsem nad tím přemýšlel a dospěl jsem k závěru, že je to opravdu jen paradox a praxe je nejspíš jiná. To že z 23 lidí lze udělat 253 párů u nichž porovnáváme datumy je hezké, ale pro mě to pořád znamená, že mezi těmi 253 páry se vyskytuje jen 23 datumů z celkového počtu 365 dní v roce, což není ani 1/10. Proto je to pro mě tolik neuvěřitelné.
Napadlo mě to převést na jíný případ. Vyrobím si program, který náhodně generuje přirozená čísla od 1 do 365 a nchám jich vygenerovat 23 (to je to samé jako když vemu 23 lidí s jejich datumy, kterých může být 365) čísel. Pak by měla být 50% šance, že 2 čísla budou stejná. U 50 čísel by to mělo být dokonce 97%, což už je takřka neuvěřitelné. Pokud je šance 50%, z hlediska teorie by se ze 2 takových náhodných generování mělo jednou stát to, co požadujeme. Uvidíme, pak napíšu výsledek pokud to bude zajímat.

S bráchou jsme o tom tak debatovali, až jsme nakonec zabrousili do uplně jiného tématu a to do "Zlatého řezu" A Fibonacciho řady čísel. Strávili jsme nad tím víc jak hodinu a projeli jsme spoustu stránek a bylo to velice zajímavé.

Také tě Narozeninový paradox tak pohltil? :-)

ttopi · 08. 03. 2008 09:23

Našel jsem další zajímavou věc z odvětví pravděpodobnosti :-)

Monty Hallův problém :-)

jelena · 08. 03. 2008 12:59

↑ ttopi:

Nemohu rici, ze uplne pohltil, spise to stale udivuje :-) - ja mam totiz docela kvalitni technicke VS vzdelani (zamereni ale chemicka technologie) a treba v nasi vyuce bylo zajimave, ze se kombinatorice, teorii pravdepodobnosti a prikladum ze zakladu se venovalo malo a hned se najelo na praktickou aplikaci, jako testovani, spolehlivost, statistika.

Samotny zaklad mi docela chybi, tak se zameruji na doplneni - pocitam, co jde (obcas dostanu docela peknou sbirku od nekoho z fora, dekuji kolegovi cd4 :-), dostala jsem i docela zajimavy material od jednoho vazeneho kolegy z Ruska - kde se pokusil prave priblizit tuto problematiku jinym zpusobem - pomoci ruznych hadanek, hricek a dokonce i vtipu.

Lec casu nemam tolik, co by bylo potreba.

Tato nabidka uloh, co jsme resili vcera, byla zajimava, ze nikdo nereagoval - asi se nikomu nechtelo vypisovat.

Jinak, jak jsme rozebirali pred nejakym casem prave pripominky k foru, tak jsem rekla, ze nam docela citelne chybi nekdo zrovna na oblast pravdepodobnosti a statistiky, tak snad casem :-)

ttopi · 08. 03. 2008 13:12

No mě třeba na střední škole Kombinatorika vůbec nebavila, ale teď při studiu na VŠ a při pročítání tohoto fóra se mi začíná čímdál víc líbit :-)

Ale, ty jsi chemička? Inženýrka nebo Magistra? Pěkné :-)

jelena · 08. 03. 2008 13:25

↑ ttopi:

Myslim, ze ma hodne velky vyznam pro pochopeni spousty souvislosti.

Ja jsem mela smulu, ze nase matikarka byla opravdu hodne dobra, ale sama uznavala, ze cast kombinatoriky ji neni blizka, tak si vzpominam, ze dokonce poprosila sveho syna, ktery byl informatik, aby nam to trochu priblizil. Moc se snazila, ale uz to tak zrejme zustalo.

Ale zaklady analyzy od ni mam skvele, bylo na co navazovat. A jeste ji hrozne vdecim za priblizeni dejin matematiky a techniky vubec :-)

Chemicka - technolozka (to je trochu rozdil, neni to tak uplne prirodoveda) no, to prvni :-) uz docela dlouho, ale myslim u techniku - technologu Mgr. nedavaji ani dnes.

Pokud se ujimes kombinatoriky a souvislosti, tak to bude moooc dobre, muj nazor je ten, ze to tady trochu chybi. Tak hodne zdaru :-)

noxondra · 08. 03. 2008 14:43

Aby jste se netrápili hodím vám tady výsledky, já už to tak moc nepotřebuji písemka je za mnou. Jestli zádrně to teprve zjistím.
Něco se mi nakonec podařilo spočítat samotnému takže to tu když tak můžu spisat.
Výsledky jsou správné.

1. Opraveno měl znít takto - Kolik pokusu s pravděpodobností p = 1 − 1/e^5 musíme udelat, aby pravděpodobnost alespoň 1 úspěchu byla alespoň 1 − 1/e^12 ? Výsledek - 3

2.Sekretářka má rozeslat pět dopisů pěti různým adresátum. Dopisy vkládá do nadepsaných obálek náhodně. Jaká je pravděpobnost, že alespoň jedna osoba dostane dopis určený pro ni? Výsledek - 0.6333

3. Opraveno měl znít takto (jinak by to bylo moc jednoduché :)) - Náhodně vybereme přirozené číslo menší než 10^5. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0, 1, 5 a zároveň bude dělitelné pěti? Výsledek - 161/99 999 = 0.0016

4.Kolik lidí musí být minimálně ve skupině, aby byla pravděpodobnost, že dva z nich mají narozeniny ve stejný den, vetší než 1/2? Výsledek - 23

5.V urně je šest koulí s čísly 1, 2, . . . , 6. Koule vybíráme náhodne a nevracíme. Jaká je pravděpodobnost, že v žádném tahu nebude číslo koule shodné s pořadím tahu? Výsledek - 0.3681

6.Urna byla naplněna takto: čtyřikrát bylo hozeno mincí, když padl líc, byla vložena černá koule, když rub, tak bílá. Postupně z této (promíchané) urny vybereme dvě koule, přičemž po prvním tahu kouli do urny vrátíme. Jaká je pravděpodobnost, že obě tažené koule jsou bílé? Výsledek - 5/16

7.Ze čtverce s vrcholy [1, 1], [−1, 1], [−1,−1], [1,−1] náhodně vybereme bod M se souradnicemi [a,y]. Urcete pst, že kvadratická rovnice xna2 + ax + y = 0 má reálné kořeny. Výsledek - 13/24

8.Proti (dostateně velké) síti se čtvercovými oky – 8×8 cm je kolmo vržen míček o pruměru 5 cm. Jaká je pravděpodobnost, že proletí bez doteku sítě?. Výsledek - 9/64

Doufám že vám to pomůže ve snažení, pokud máte stále zájem :)

jelena · 08. 03. 2008 15:08

↑ noxondra:

dekuji, my jsme se netrapili, jsme se bavili a dobre :-)

- tak vyhlasuji nove kolo snazeni :-) - nahodou, ulohu o micku kolega vypocetl dobre a narozeniny jsme take dohledali - moje vypocty prece byly bez zaruky :-)

miroslav · 09. 03. 2008 10:49

moje dcera studuje v Anglii a obrátila se na mě s problémem uplatnění kumulativní (distribuční) funkce v pravděpodobnosti. Jelikož jsem ukončil školu před 40lety, byl bych vděčen za pomoc vysvětlen formou jenoduchých příkladů + komentáře.
Děkuji předem. M.

jelena · 09. 03. 2008 11:59

↑ miroslav:

Zdravim Vas, zkuste se podivat na nejake e-learningove materialy - http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/ (kapitola "Nahodna velicina), jsou tam jak vyresene priklady, tak i sbirka. Jsou i dalsi sbirky, ale pro zacatek se mi zda tato docela vyhovujici a srozumitelna.

V anglictine napriklad zacit tady http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution a podivat se po odkazech. V anglictine je take dost online tutoru, at si dcera vybere nejaky nebo at sem umisti nejake svoje priklady, co potrebuje.

http://www.causascientia.org/math_stat/ … endium.pdf

Pokud neco bude potreba, tak se urcite ozvite tady. Hodne zdaru :-)

Lukee · 09. 03. 2008 12:06

↑ ttopi: http://latrine.dgx.cz/hadanka-skorapkare

miroslav · 11. 03. 2008 11:28

↑ jelena:, Děkuji moc za informace. Zdraví M.

Kondr · 11. 03. 2008 23:41

jelena napsal(a):
tak vyhlasuji nove kolo snazeni :-)

Tak já to kolo nějak zahájím:

1. Kolik pokusu s pravděpodobností p = 1 − 1/e^5 musíme udelat, aby pravděpodobnost alespoň 1 úspěchu byla alespoň 1 − 1/e^12 ?

Na tohle se půjde přes doplňkový jev. Pravděpodobnost, že neuspějeme je $1-(1-e^{-5})=e^{-5}$
Pravděpodobnost, že k-krát po sobě neuspějeme je $e^{-5k}$ . Hledáme takové k, pro které bude tato hodnota menší než $e^{-12}$ , tedy k pro které je 5k>12. Nejmenší vyhovující k je 3.

2.Sekretářka má rozeslat pět dopisů pěti různým adresátum. Dopisy vkládá do nadepsaných obálek náhodně. Jaká je pravděpobnost, že alespoň jedna osoba dostane dopis určený pro ni?

Do historie toto vstoupilo jako problém šatnářky, ale vygooglit se mi to nepovedlo...
Pravděpodobnost, že daných k osob dostane správný dopis se spočítá jako
$V=\frac{(5-k)!}{5!}$ . Proč? Z 5! permutací dopisů vyhoví ty, které mají v daných k bodech pevný bod (tj. daným k lidem přiřadí jejich vlastní dopisy), v ostatních 5-k bodech mohou mít libovolné hodnoty.
Hodnotu tohoto výrazu sečteme přes všecky jednotlivce -- dostaneme tak případy, kdy alespoň jeden člověk dostal správný dopis. Některé ale budou započteny vícekrát. Odečteme tedy hodnotu těchto výrazů přes všechny dvojice. Tím jsme ale třikrát odečetli ty, kde 3 lidé dostali správný dopis (ty jsme předtím přičítali třikrát, takže je teď musíme přičíst ještě jednou). Přičteme tedy hodnotu V pro všechny trojice, následně odečteme pro všechny čtveřice a pak přičteme pro pětici (jedinou).
Vyjde nám $P={1\choose 5}\frac{(5-1)!}{5!}-{2\choose 5}\frac{(5-2)!}{5!}+...+{5\choose5}\frac{(5-5)!}{5!}$
Pokud rozepíšeme kombinační čísla do faktoriálů, krásně se nám to pokrátí:
$P=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}=19/30$

3. Náhodně vybereme přirozené číslo menší než 10^5. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0, 1, 5 a zároveň bude dělitelné pěti? Výsledek - 161/99 999 = 0.0016

Nejprve spočteme, kolik je nejvýše pětimístných čísel vyhovujících oběma podmínkám. Abychom to nemuseli dělit na jedno,dvoj,...-ciferná čísla, budeme uvažvat všechny sekvence cifer, tzn. i 00015 budeme brát za číslo, akorát nakonec odečteme 00000, což není přirozené číslo. Poslední cifra sekvence je 0 nebo 5, každou další lze volit 3 způsoby. Dle pravidla součinu máme tedy
2*3*3*3*3=2*81=162 vyhovujících nezáporných celých čísel, odečteme 00000 -- přirozených je proto 161. Celkem je nejvýše pětimístných čísel 99999, proto je hledaná pravděpodobnost 161/99999.

4.Kolik lidí musí být minimálně ve skupině, aby byla pravděpodobnost, že dva z nich mají narozeniny ve stejný den, vetší než 1/2? Výsledek - 23

Toto je známý Narozeninový problém

5.V urně je šest koulí s čísly 1, 2, . . . , 6. Koule vybíráme náhodne a nevracíme. Jaká je pravděpodobnost, že v žádném tahu nebude číslo koule shodné s pořadím tahu?

Doplňkovým jevem je to, že alespoň v jednom tahu bude číslo tahu rovné číslu míčku. Tedy zase problém šatnářky, viz příklad 2. Pravděpodobnost toho doplňkového jevu
$P'=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{6!}$
Pravděpodobnost jevu hledaného
$P=1-P'=\frac{1}{0!}-P'=\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}$
Po vyčíslení 53/144.

6.Urna byla naplněna takto: čtyřikrát bylo hozeno mincí, když padl líc, byla vložena černá koule, když rub, tak bílá. Postupně z této (promíchané) urny vybereme dvě koule, přičemž po prvním tahu kouli do urny vrátíme. Jaká je pravděpodobnost, že obě tažené koule jsou bílé? Výsledek - 5/16

V urně je b bílých a (4-b) černých koulí s pravděpodobností
${4\choose b}0,5^b0,5^(4-b)$ .
Pravděpodobnost, že vytáhneme bílou kouli je pak b/4. Pravděpodobnost, že se nám to povede i podruhé je opět b/4 (vzhledem k vracení koulí jde o nezávislé jevy).Dle pravidla součinu máme šanci b^2/16 na vytažení dvou bílých koulí.
Hledaná pravděpodobnost je proto
$\sum_{b=0}^4{4\choose b}0,5^b0,5^(4-b)b^2/16$

7.Ze čtverce s vrcholy [1, 1], [−1, 1], [−1,−1], [1,−1] náhodně vybereme bod M se souradnicemi [a,y]. Urcete pst, že kvadratická rovnice xna2 + ax + y = 0 má reálné kořeny.

Určujeme pravděpodobnost toho, že je diskriminant rovnice kladný, tedy že
a^2-4y>0, neboli y<a^2/4. Množina bodů z daného čtverce , které tomuto vyhoví je plocha mezi křivkami y=-1 a y=x^2/4 na intervalu -1,1, její obsah určíme jako
$\int_{-1}^1 x^2/4-(-1)=1/6+2=13/6$ . Plocha celého čtverce je 4. Pravděpodobnost úspěchu (užitím geometické pravděpodobnosti) je proto (13/6)/4=13/34

8.Proti (dostateně velké) síti se čtvercovými oky – 8×8 cm je kolmo vržen míček o pruměru 5 cm. Jaká je pravděpodobnost, že proletí bez doteku sítě?.

Příznívý jev nastane, když střed míčku proletí čtvercem o straně 3, který tvoří 9/64 plochy celého čtverce o straně 8.
http://img211.imageshack.us/my.php?image=beznzvucj0.jpg
Díky ttopimu za tento obrázek :)

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2008 08:10

Pravděpodobnost

#2 06. 03. 2008 23:44 — Editoval jelena (07. 03. 2008 19:23)

Re: Pravděpodobnost

#3 07. 03. 2008 18:42 — Editoval ttopi (07. 03. 2008 18:44)

Re: Pravděpodobnost

#4 07. 03. 2008 19:21

Re: Pravděpodobnost

#5 07. 03. 2008 19:38

Re: Pravděpodobnost

#6 07. 03. 2008 19:41 — Editoval jelena (07. 03. 2008 20:17)

Re: Pravděpodobnost

#7 07. 03. 2008 19:44

Re: Pravděpodobnost

#8 07. 03. 2008 20:29

Re: Pravděpodobnost

#9 07. 03. 2008 20:54 — Editoval ttopi (07. 03. 2008 21:09)

Re: Pravděpodobnost

#10 07. 03. 2008 21:08 — Editoval ttopi (07. 03. 2008 21:13)

Re: Pravděpodobnost

#11 07. 03. 2008 21:20

Re: Pravděpodobnost

#12 07. 03. 2008 21:26

Re: Pravděpodobnost

#13 07. 03. 2008 22:09

Re: Pravděpodobnost

#14 08. 03. 2008 08:19

Re: Pravděpodobnost

#15 08. 03. 2008 09:23

Re: Pravděpodobnost

#16 08. 03. 2008 12:59

Re: Pravděpodobnost

#17 08. 03. 2008 13:12

Re: Pravděpodobnost

#18 08. 03. 2008 13:25

Re: Pravděpodobnost

#19 08. 03. 2008 14:43

Re: Pravděpodobnost

#20 08. 03. 2008 15:08

Re: Pravděpodobnost

#21 09. 03. 2008 10:49

Re: Pravděpodobnost

#22 09. 03. 2008 11:59

Re: Pravděpodobnost

#23 09. 03. 2008 12:06

Re: Pravděpodobnost

#24 11. 03. 2008 11:28

Re: Pravděpodobnost

#25 11. 03. 2008 23:41

Re: Pravděpodobnost

jelena napsal(a):

Zápatí